多项式复合逆与拉格朗日反演

【定义】

对两多项式 \(f,g\)，无常数项且一次项系数非 \(0\)，有：\(f(g(x))=x\iff g(f(x))=x\)。（这个结论需要用到高深的群论知识，不会）

如果 \(f(g(x))=x\)，称 \(f,g\) 互为复合逆。记 \(f^{-1}\) 为 \(f\) 的复合逆。同时可以证明复合逆存在且唯一。（这个结论也不会）

注意多项式复合运算不具有交换律，但具有结合律。

直观理解复合逆。考虑 \(f\) 的图像 \(C=\{(x,y)|y=f(x)\}\)，\(g\) 的图像就是 \(C\) 关于 \(y=x\) 的镜像。

拉格朗日反演：对于 \(F,G\) 互为复合逆，有：

\[[x^n]G(x)=\dfrac{1}{n}[x^{-1}]F(x)^{-n} \]

拓展拉反：对于 \(T(F(x))=H(x)\)，\(F,G\) 互为复合逆，有：

\[[x^n]T(x)=[x^n]H(G(x))=\frac{1}{n}[x^{-1}]H'(x)F(x)^{-n} \]

注意，结果式里没有任何有关于 \(G(x)\) 的形式，也就是使用拓展拉反，只需保证 \(F\) 存在复合逆。

可以看到，普通拉反就是拓展拉反里 \(T(x)=G(x)\) 的特殊形式。

【应用】

【例一】

\(a_0=1\)，\(a_{n+1}=\sum_{i+j+k=n}a_ia_ja_k\)。求 \(a_n\) 通项公式。

这也是 \(n\) 个结点的三叉树个数（子树有序）。

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令 \(A(x)\) 为 \(a\) 的 OGF。则 \(A(x)=xA^3(x)+1\)。目的是求 \([x^n]A(x)\)。

要用拉反，必先找复合逆。

定义 \(f(x)=y=A(x)-1\)。（为什么这么定义？因为右边常数项 \(1\)，要把这个 \(1\) 减掉才能满足复合逆存在的要求：无常数项）

则 \(y=xA^3(x)=x(y+1)^3\Rightarrow x=\dfrac{y}{(y+1)^3}=g(y)\)。于是我们得到了 \(f(x)\) 的复合逆 \(g(y)=\dfrac{y}{(y+1)^3}\)。

那么求 \(A\) 的系数就是求 \(f\) 的系数，求 \(f\) 的系数就是求 \(g\) 的系数。

\[\begin{aligned} &n>0\\ [x^n]A(x)&=[x^n]f(x)=\dfrac{1}{n}[y^{-1}]\dfrac{1}{g^n(y)}\\ &=\dfrac{1}{n}[y^{n-1}]\dfrac{y^n}{g^n(y)} =\dfrac{1}{n}[y^{n-1}]\dfrac{y^n}{(\dfrac{y}{(y+1)^3})^n}\\ &=\dfrac{1}{n}[y^{n-1}](y+1)^{3n}\\ &=\dfrac{1}{n}{3n\choose n-1} \end{aligned} \]

注：\(k\) 叉树个数就是 \(\frac{1}{n}{kn\choose n-1}\)。

【例二】

来源：BZOJ3684 大朋友和多叉树

给定 \(n\le 10^5\)。有集合 \(D\subseteq \mathbb{N}-\{0,1\}\) 初始给定。

求无标号子树有序有根多叉树个数，使得其叶子数为 \(n\)，且非叶结点的儿子数 \(\in D\)。

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记答案为 \(g_n\)。\(g_1=1\)，\(g_{n+1}=\sum_{\{d_1\sim d_k\}\in D}g_{d_1}g_{d_2}\cdots g_{d_k}\)。

写出 OGF，记为 \(g(x)\)。有 \(g(x)=x+\sum_{d\in D}g^d(x)\)。目标是求 \([x^n]g(x)\)。

因为 \(g\) 的常数项为 \(0\)，一次项系数为 \(1\)，后面 \(\sum g^d(x)\) 因为 \(d\ge 2\) 不可能有常数项和一次项，所以 \(g\) 有复合逆。

取 \(y=g(x)\)。\(y=x+\sum_{d\in D}y^d\)，所以 \(x=y-\sum_{d\in D}y^d=f(y)\) 是 \(g(x)\) 的复合逆。于是可以通过求 \(f\) 的系数得到 \(g\) 的系数。

没什么优美的形式，直接暴力快速幂、求逆。

【例三】

边双连通图计数。

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图计数考虑 EGF。

记 \(C(x)\) 为 "连通图" 的 EGF，那么 "有根连通图" 的 EGF 为 \(D(x)=x\cdot C'(x)\)。

（这一部分的内容在【EGF 学习笔记】里有提）

设边双连通的 EGF 是 \(B(x)\)。

考虑边双的性质：任何一个连通图边双缩点之后得到一棵树。

于是我们对 "有根连通图个数" 算两次，解方程得到 \(B(x)\)。

1. 有根连通图的 EGF 就是 \(D(x)\)。

2. 任何一个有根连通图都可以进行边双缩点。其根必然位于一个边双内。设根所在的边双大小为 \(n\)，这一部分方案数的 EGF 是 \(B(x)\)。（\(n\) 大小的边双个数）

   然后把这张图除去根所在边双，会剩下若干个有根连通图。注意不是剩下若干个边双，是剩下若干个边双子树。有根是因为要决定哪个点和根所在边双相连。

   "有根连通图" 的 EGF 是 \(D(x)\)，然后还要决定和根所在边双里哪个点相连，再乘 \(n\)。

   所以一颗子树方案数的 EGF 是 \(nD(x)\)，因为可以有若干颗子树，决定所有子树的方案数的 EGF 就是 \(\exp (nD(x))\)。

所以 \(D(x)=\sum_{n\ge 1}\frac{b_n\exp(nD(x))}{n!}x^n=B(x\cdot \exp(D(x)))\)。

令 \(F(x)=x\cdot \exp(D(x))\)，改写为 \(B(F(x))=D(x)\)。

因为 \(F(x)\) 是 \(x\) 的倍数，所以 \(F(x)\) 无常数项；同时因为 \(\exp(D(x))\) 常数项为 \(1\)，所以 \(F(x)\) 的一次项为 \(1\)，非 \(0\)。因此 \(F\) 存在复合逆，可以使用拉格朗日反演。

根据拓展拉反：

\[\begin{aligned} [x^n]B(x)&=\dfrac{1}{n}[x^{-1}]D'(x)F(x)^{-n}\\ &=\dfrac{1}{n}[x^{n-1}]D'(x)(\dfrac{x}{F(x)})^n\\ &=\dfrac{1}{n}[x^{n-1}]D'(x)(\dfrac{x}{x\cdot \exp(D(x))})^n\\ &=\dfrac{1}{n}[x^{n-1}]D'(x)\exp(D(x))^{-n}\\ &=\dfrac{1}{n}[x^{n-1}]D'(x)({e^{D(x)}})^{-n}\\ &=\dfrac{1}{n}[x^{n-1}]D'(x)e^{-nD(x)}\\ &=\dfrac{1}{n}[x^{n-1}]D'(x)\exp({-nD(x)})\\ \end{aligned} \]

到这里可以直接做了。当然，也有另一种处理方式：

\[\begin{aligned} [x^n]B(x)&=\dfrac{1}{n}[x^{-1}]D'(x)F(x)^{-n}\\ &=\dfrac{1}{n}[x^{n-1}]D'(x)(\dfrac{x}{F(x)})^n\\ &=\dfrac{1}{n}[x^{n-1}]D'(x)(\dfrac{x}{x\cdot \exp(D(x))})^n\\ &=\dfrac{1}{n}[x^{n-1}]D'(x)\exp(D(x))^{-n}\\ &=\dfrac{1}{n}[x^{n-1}]D'(x)(-n(\ln (\exp (D(x)))))\\ &=\dfrac{1}{n}[x^{n-1}]D'(x)\cdot (-n\cdot D(x))\\ &=-[x^{n-1}]D'(x)\cdot D(x)\\ \end{aligned} \]