正交投影矩阵

正交投影矩阵的视锥体是一个长方体$[l,r][b,t][f,n]$，我们要把这个长方体转换到一个正方体$[-1,1][-1,1][-1,1]$中，如下图所示

第一步为平移，计算出长方体的中心点为$[(l+r)/2,(b+t)/2,(f+n)/2]$，然后将中心点移动到原点，矩阵为
$${\mathbf{M}}_{translate}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& -(l+r)/2\\ 0& 1& 0& -(b+t)/2\\ 0& 0& 1& -(f+n)/2\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$
第二步为缩放，例如从$[l,r]$缩放到$[-1,1]$，缩放系数为$2/(r-l)$，所以矩阵为
$${\mathbf{M}}_{scale}=\left[\begin{array}{cccc}2/(r-l)& 0& 0& 0\\ 0& 2/(t-b)& 0& 0\\ 0& 0& 2/(n-f)& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$
综上，正交投影矩阵为${\mathbf{M}}_{ortho}={\mathbf{M}}_{scale}\ast {\mathbf{M}}_{translate}$

透视投影矩阵

透视投影矩阵的视锥体是一个四棱锥的一部分，其中近平面为$z=n$，远平面为$z=f$，我们要把这个视锥体转换到一个正方体$[-1,1][-1,1][-1,1]$中，可以先把远平面压缩，把视锥体压缩成一个长方体，然后再通过正交投影矩阵就可以变换到正方体中，如图。

视锥体压缩矩阵的求解

我们定义视锥体压缩的矩阵为${\mathbf{M}}_{persp->ortho}$，在把视锥体压缩成长方体的过程中，我们规定三个原则

1. 近平面的所有点坐标不变
2. 远平面的所有点坐标$z$值不变，都是$f$
3. 远平面的中心点坐标值不变，为$(0,0,f)$

首先，设${\mathbf{M}}_{persp->ortho}$为如下式子，先将所有元素设为未知数：
$${\mathbf{M}}_{persp->ortho}=\left[\begin{array}{cccc}A& B& C& D\\ E& F& G& H\\ I& J& K& L\\ M& N& O& P\end{array}\right]$$
对于视锥体内的任意一点$(x,y,z)$，压缩以后的$x,y$坐标应该与近平面上对应的点相同，如下图所示，根据三角形的相似关系，我们可以得到$x^{,}=nx/z,y^{,}=ny/z$。

因此对于齐次坐标表示的$(x,y,z,1)$一点，它在视锥体压缩后的坐标为$(nx/z,ny/z,unknow,1)$，这里我们新的$z^{,}$值还不知道，暂不讨论。为了便于后续的计算，压缩后的坐标为$(nx,ny,unknow,z)$。我们有下面的式子：
$${\mathbf{M}}_{persp->ortho}\cdot \left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}nx\\ ny\\ unknown\\ z\end{array}\right]$$
将式子展开，我们有：
$$\begin{gathered} Ax+By+Cz+D=nx \\ Ex+Fy+Gz+H=ny \\ Mx+Ny+Oz+P=z \end{gathered}$$
可知：
$$\begin{gathered} A=n,B=0,C=0,D=0 \\ E=0,F=n,G=0,H=0 \\ M=0,N=0,O=1,P=0 \end{gathered}$$
这时，我们知晓了矩阵中12个位置数的值，此时的矩阵如下，还剩$I,J,K,L$四个未知数。
$${\mathbf{M}}_{persp->ortho}=\left[\begin{array}{cccc}n& 0& 0& 0\\ 0& n& 0& 0\\ I& J& K& L\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]$$

接下来考虑三原则中第一个原则，近平面的所有点坐标不变。对于近平面上的一点$(x,y,n,1)$，有下式：
$$\left[\begin{array}{cccc}n& 0& 0& 0\\ 0& n& 0& 0\\ I& J& K& L\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}x\\ y\\ n\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}nx\\ ny\\ n\ast n\\ n\end{array}\right]$$
其中后式是为了配平方程，我们将齐次坐标$(x,y,z,1)$等价变为$(nx,ny,n\ast n,n)$。

根据矩阵的第三行展开计算，可以得到
$$Ix+Jy+Kn+L=n\ast n$$
于是有

$$\begin{array}{r}I=0,J=0\\ Kn+L=n\ast n\end{array}$$

此时矩阵如下，还剩$K,L$两个未知数。
$${\mathbf{M}}_{persp->ortho}=\left[\begin{array}{cccc}n& 0& 0& 0\\ 0& n& 0& 0\\ 0& 0& K& L\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]$$

最后考虑三原则中第三个原则，远平面的中心点坐标值不变，为$(0,0,f,1)$。我们有下式：
$$\left[\begin{array}{cccc}n& 0& 0& 0\\ 0& n& 0& 0\\ 0& 0& K& L\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ f\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ f\ast f\\ f\end{array}\right]$$
后式同样是为了配平方程，我们将齐次坐标$(0,0,f,1)$等价变为$(0,0,f\ast f,f)$。

根据矩阵的第三行展开计算，可以得到
$$\begin{array}{r}Kf+L=f\ast f\end{array}$$
联立$(1)(2)$两式，我们最终能够解得
$$\begin{gathered} K=n+f \\ L=-nf \end{gathered}$$
此时，我们终于求得了${\mathbf{M}}_{persp->ortho}$矩阵
$${\mathbf{M}}_{persp->ortho}=\left[\begin{array}{cccc}n& 0& 0& 0\\ 0& n& 0& 0\\ 0& 0& n+f& -nf\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]$$

透视投影矩阵的求解

乘上正交投影矩阵${\mathbf{M}}_{ortho}$，我们便可以得到透视投影矩阵${\mathbf{M}}_{persp}$
$$\begin{gathered} {\mathbf{M}}_{persp}={\mathbf{M}}_{ortho}\cdot {\mathbf{M}}_{persp->ortho}= \\ \left[\begin{array}{cccc}2/(r-l)& 0& 0& 0\\ 0& 2/(t-b)& 0& 0\\ 0& 0& 2/(n-f)& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& -(l+r)/2\\ 0& 1& 0& -(b+t)/2\\ 0& 0& 1& -(f+n)/2\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cccc}n& 0& 0& 0\\ 0& n& 0& 0\\ 0& 0& n+f& -nf\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right] \end{gathered}$$

透视矩阵一般是由$fov,aspect,far,near$四个参数定义的，我们尝试用这四个参数来表示上式中的$n,f,t,b,r,l$六个参数。其中$fov$表示视场角，$aspect$表示宽高比，$far,near$分别表示远平面和近平面。

易知，$n=near,f=far$。

根据上图的三角关系，我们有
$$\begin{gathered} t=near\ast tan(\frac{fov}{2}),b=-near\ast tan(\frac{fov}{2}) \\ r=aspect\ast near\ast tan(\frac{fov}{2}),l=-aspect\ast near\ast tan(\frac{fov}{2}) \end{gathered}$$
最终，我们得到的透视投影矩阵为
$${\mathbf{M}}_{persp}=\left[\begin{array}{cccc}\frac{cot(fov)}{2\ast aspect\ast near}& 0& 0& 0\\ 0& \frac{cot(fov)}{2}& 0& 0\\ 0& 0& \frac{near+far}{near-far}& -\frac{2\ast near\ast far}{near-far}\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]$$

参考

https://zhuanlan.zhihu.com/p/122411512