The Boss on Mars

思路

显然我们可以求得${\sum }_{i=1}^n{i}^4=\frac{6n^5+15n^4+10n^3-n}{30}$，接下来就是考虑把其中不与$n$互质的数给踢出去了，显然我们可以考虑容斥。

假设$n=p_1^{a_1}{p}_2^{a_2}{p}_3^{a_3}\dots p_{n-1}^{a_{n-1}}{p}_n{a}_n$

假设给定一个数字$x=p_1^{k_1}{p}_2^{k_2}{p}_3^{k_3}\dots p_{n-1}^{k_{n-1}}{p}_n^{k_n}$我们找出$n$中是$x$的倍数的数字来，

可以写成$sum=x^4(1^4+2^4+3^4+\cdots +(\frac{n}{x}-1{)}^4+(\frac{n}{x}{)}^4)$，

然后再按照容斥的原则奇加，偶减，当有奇数个因子的时候加上$sum$，有偶数个因子的时候减去$sum$。

代码

/*Author : lifehappy
*/
#pragma GCC optimize(2)
#pragma GCC optimize(3)
#include <bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long ll;const int inf = 0x3f3f3f3f;const int N = 1e4 + 10, mod = 1e9 + 7;int prime[N], cnt;bool st[N];int fac[30], tot, m;void init() {for(int i = 2; i < N; i++) {if(!st[i]) prime[cnt++] = i;for(int j = 0; j < cnt && i * prime[j] < N; j++) {st[i * prime[j]] = 1;if(i % prime[j] == 0) break;}}
}ll calc1(ll n) {ll ans = ans = (1ll * 6 * n % mod * n % mod * n % mod * n % mod * n % mod + 1ll * 15 * n % mod * n % mod * n % mod * n % mod + 1ll * 10 * n % mod * n % mod * n % mod - n + mod) % mod;ans = ans * 233333335 % mod;return ans;
}ll calc2() {ll ans = 0;for(int i = 1; i < (1 << tot); i++) {int sum = 0, now = 1;for(int j = 0; j < tot; j++) {if(i >> j & 1) {now *= fac[j];sum++;}}if(sum & 1) ans = (ans + calc1(m / now) * now % mod * now % mod * now % mod * now % mod) % mod;else ans = (ans - calc1(m / now) * now % mod * now % mod * now % mod * now % mod + mod) % mod;}return ans;
}int main() {// freopen("in.txt", "r", stdin);// freopen("out.txt", "w", stdout);ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);int T; cin >> T;init();while(T--) {int n;cin >> n;m = n;tot = 0;for(int i = 0; prime[i] * prime[i] <= n; i++) {if(n % prime[i] == 0) {fac[tot++] = prime[i];while(n % prime[i] == 0) {n /= prime[i];}}}if(n != 1) fac[tot++] = n;ll ans1 = calc1(m);ll ans2 = calc2();cout << (ans1 - ans2 - (m == 1) + mod) % mod << endl;}return 0;
}