杜教筛入门

前置知识

迪利克雷卷积（*）：

先介绍三个重要的函数：

• 元函数$ϵ(n)=[n==1]$

  原函数可以看成是迪利克雷卷积里的单位元，即$(ϵ\ast f)(n)=f(n)$，

  证明：$(ϵ\ast f)(n)={\sum }_{d\mid n}ϵ(d)f(\frac{n}{d})=ϵ(1)f(n)=f(n)$

• 恒等函数$I(n)=1$，通俗来讲就是其值恒为1

• 单位函数$id(n)=n$

卷积的定义：$(f\ast g)(n)={\sum }_{d\mid n}f(d)g(\frac{n}{d})$

并且这个式子是满足：交换律，结合律，分配律的。

与莫比乌斯函数有关的卷积：

${\sum }_{d\mid n}\mu (d)=[n==1]$

写成卷积也就是$(I\ast \mu )(n)=ϵ(n)=[n==1]$。

与欧拉函数有关的卷积：

${\sum }_{d\mid n}\varphi (d)=n$

写成卷积就是$(I\ast \varphi )(n)=id(n)$。

正式开始了

所谓杜教筛就是可以在$n^{\frac{2}{3}}$的时间复杂度内算出积性函数的浅醉和来，所以当数据$\ge 1e8$的时候就只能用杜教筛了。

假设有积性函数$f(n)$，我们要求$S(n)=\sum _{i=1}^{n}f(i)，n\le 1e10$。

根据迪利克雷卷积，我们引入一个新的积性函数$g(n)$，$F(n)=(g\ast f)(n)$
$$\begin{gathered} \sum _{i=1}^{n}F(i)=\sum _{i=1}^n(g\ast f)(i)=\sum _{i=1}^n\sum _{d\mid i}g(d)f(\frac{i}{d}) \\ =\sum _{d=1}^{n}g(d)\sum _{d\mid i}f(\frac{i}{d})=\sum _{d=1}^{n}g(d)\sum _{i=1}^{\frac{n}{d}}f(i) \\ =\sum _{d=1}^{n}g(d)S(\frac{n}{d}) \end{gathered}$$
所以有$\sum _{i=1}^{n}F(i)=g(1)S(n)+{\sum }_{d=2}^{n}g(d)S(\frac{n}{d})$

积性函数的定义有$g(1)=1$，所以接下来

$S(n)=\sum _{i=1}^{n}F(i)-\sum _{d=2}^{n}g(d)S(\frac{n}{d})$

如果我们能够较快速的计算出$\sum _{i=1}^n(g\ast f)(i)$这个问题就可以通过数论分块很好的解决了，当然在次之前我们还得预先筛选出前$n^{\frac{2}{3}}$的前缀和来，然后再通过记忆化搜索去得到答案。

几个例子

一、求$S(n)=\sum _{i=1}^n\mu (i)$

我们先套用上面的式子$S(n)=\sum _{i=1}^{n}g\ast \mu -\sum _{d=2}^{n}g(d)S(\frac{n}{d})$

我们考虑到$I\ast \mu =ϵ$，于是我们得到$S(n)=\sum _{i=1}^nϵ-\sum _{d=2}^{n}S(\frac{n}{d})=1-\sum _{d=2}^{n}S(\frac{n}{d})$

于是我们就完美解决了这个问题。

二、求$S(n)=\sum _{i=1}^{n}i\mu (i)$

上面式子按照套路模板写下来$S(n)=\sum _{i=1}^{n}g\ast \mu \ast id-\sum _{d=2}^{n}g(d)S(\frac{n}{d})$

同样的有$\mu \ast I=ϵ，ϵ\ast id=id$，

所以我们得到$S(n)=\sum _{i=1}^{n}i-\sum _{d=2}^{n}S(\frac{n}{d})$

貌似推得很有道理，所以我们错在哪？

事实上我们模板都抄错了$i\mu (i)$这东西显然不是迪利克雷卷积，，，

我们设$f(n)=n\mu (n)$，所以$g\ast f={\sum }_{d\mid n}f(d)g(\frac{n}{d})={\sum }_{d\mid n}d\mu (d)g(\frac{n}{d})$

容易想到${\sum }_{d\mid n}\mu (d)=[n==1]$，所以从这点出发我们考虑$dg(\frac{n}{d})\mu (d)$如何得到含有$\mu (d)$的形式。

显然，通过观察如果我们让$g(n)=n$，上式就有$dg(\frac{n}{d})\mu (d)=d\frac{n}{d}\mu (d)=n\mu (d)$

带入原式子就变成了$S(n)=\sum _{i=1}^n\sum _{d\mid i}i\mu (d)-\sum _{d=2}^{n}dS(\frac{n}{d})=\sum _{i=1}^{n}i\sum _{d\mid i}\mu (d)-\sum _{d=2}^{n}dS(\frac{n}{d})=\sum _{i=1}^{n}i(i==1)-\sum _{d=2}^{n}dS(\frac{n}{d})$

由此我们成功推出$S(n)=1-\sum _{d=2}^{n}dS(\frac{n}{d})$。

三、求$S(n)=\sum _{i=1}^n\varphi (i)$

直接套就行了这个$S(n)=\sum _{i=1}^{n}g\ast phi-\sum _{d=2}^{n}g(d)S(\frac{n}{d})$

有$I\ast \varphi =id$，所以$S(n)=\sum _{i=1}^{n}i-\sum _{d=2}^{n}S(\frac{n}{d})$

就直接推出来了。

四、求$S(n)=\sum _{i=1}^{n}i\varphi (i)$

仿照二先推出一个$g$出来，

$f\ast g={\sum }_{d\mid n}f(d)g(\frac{n}{d})={\sum }_{d\mid n}d\varphi (d)g(\frac{n}{d})$

同样联想${\sum }_{d\mid n}\varphi (d)=n$，所以我们同样地取$g(n)=n=id$

就有$f\ast g={\sum }_{d\mid n}n\varphi (d)$

带入杜教筛式子就有$S(n)=\sum _{i=1}^{n}i\sum _{d\mid i}\varphi (d)-\sum _{d=2}^{n}dS(\frac{n}{d})=S(n)=\sum _{i=1}^n{i}^2-\sum _{d=2}^{n}dS(\frac{n}{d})$