2025-11-21 XQQ NOIP Round 1 hetao1733837的record

A.tree

提交链接：树

题面

题目描述

给定一棵 $n$ 个点的树和一个长度为 $n$ 的数组 $score[0], ..., score[n-1]$。

你觉得这棵树不是很好看，所以你准备修一修这棵树，具体的说，你可以执行若干次以下操作:

选择任意一条边并删除，在产生的两个连通块保留一个并删除一个。

定义最后剩下的连通块 $S$ 的价值为 $\sum_{u \in S} score[deg_u]$ 其中 $deg_u$ 表示点 $u$ 的度数，你想要最大化这个价值，输出这个值。

输入格式

第一行一个正整数 $n$，表示节点个数。

第二行 $n$ 个整数 $score[0], score[1], ..., score[n-1]$。

接下来 $n-1$ 行每行两个正整数 $x, y$，表示树上的一条无向边。

输出格式

一行一个整数表示答案。

5
-5 -1 1 1 1
1 2
1 3
3 4
3 5

数据范围

对于 20% 的数据 $n \leq 20$.
对于 40% 的数据 $n \leq 3000$.
对于另外 20% 的数据, 树的形态是一条链.
对于 100% 的数据, $2 \leq n \leq 200000$, $|score[i]| \leq 10^9$

分析

显然，我们在场上注意到了一颗树（包含子树），删去一条边，会变成一颗子树+啊吧啊吧状物。由于多次修改，无法贪心，考虑树上$DP$。

设$f_i$表示$i$选择$i$这个子树里的一些点，同时钦定选$i$以及$i$与父亲节点连边的最大的分，则每次转移时一定会选择所有儿子中最大的几个$f_u$。

于是对于一个点$i$直接将他所有的儿子的$f_v$从大到小排序，然后更新$f_i$即可。
$$
f_i=\max(sum\ f_k+score_{k+1})
$$

正解

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N = 200005;
int n, score[N], f[N];
vector<int> e[N];
int ans = 0xc0c0c0c0c0c0c0c0;
void dfs(int u, int fa){f[u] = 0xc0c0c0c0c0c0c0c0;deque<int> son;for (auto v : e[u]){if (v == fa)continue;dfs(v, u);son.push_back(f[v]);}sort(son.begin(), son.end(), greater<int>());for (int i = 1; i < son.size(); i++)son[i] += son[i - 1];son.push_front(0);for (int i = 0; i < son.size(); i++){ans = max(ans, son[i] + score[i]);}if (fa){for (int i = 0; i < son.size(); i++){f[u] = max(f[u], son[i] + score[i + 1]);}}
}
signed main(){freopen("tree.in", "r", stdin);freopen("tree.out", "w", stdout);ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);cin >> n;for (int i = 0; i < n; i++){cin >> score[i];}for (int i = 1; i < n; i++){int x, y;cin >> x >> y;e[x].push_back(y);e[y].push_back(x);}dfs(1, 0);cout << ans;
}

B.card

提交链接：牌

题面

题目描述

有 $n$ 张牌，第 $i$ 张牌正面写着 $a_i$，反面写着 $b_i$。从这 $n$ 张牌中选出若干张，使得他们正面的数的异或和乘以反面的数的异或和的结果最大。牌不能翻面。

输入格式

第一行一个正整数 $T$, 表示测试数据组数。

每组测试数据第一行一个正整数 $n$。

第二行 $n$ 个正整数 $a_i$。

第三行 $n$ 个正整数 $b_i$。

输出格式

每组数据输出一行一个整数, 表示答案。

1
6
1 1 4 5 1 4
19 1 9 8 1 0

9
42

数据范围

对于 15% 的数据 $n \leq 20$
对于 30% 的数据 $n \leq 2000, a_i, b_i < 2^{10}$
对于 60% 的数据, $a_i, b_i < 2^{10}$
对于另外 10% 的数据 $a_i < 2$.
对于 100% 的数据, $1 \leq n \leq 10^5, 0 \leq a_i, b_i < 2^{20}, T \leq 5$

分析

难道贪心的选择使得每一个二进制位都有奇数次重合？一看线性基，小蛐蛐，我***！好的，我们拿一下部分分——爆搜！

15pts

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N = 100005;
int a[N], b[N], n;
int ans = 0xc0c0c0c0;
void dfs(int p, int z, int f){if (p > n){ans = max(ans, z * f);return ;}dfs(p + 1, z, f);dfs(p + 1, z ^ a[p], f ^ b[p]);
}
signed main(){freopen("card.in", "r", stdin);freopen("card.out", "w", stdout);int T;cin >> T;while (T--){cin >> n;for (int i = 1; i <= n; i++)cin >> a[i];for (int i = 1; i <= n; i++)cin >> b[i];ans = 0;dfs(0, 0, 0);cout << ans << '\n';}
}

看看满分做法能不能看懂吧……

呃……线性基是个……呃……通俗来说，就是用基底表示$n$维空间的东西……mhh认为应该是对的。

这题有异或相关，所以，自然而然地想到线性基（线性基用于维护异或相关……）。

好的，那么，我编不下去了，直接把题解拿下来。

发现值域不大，我们对于所有$a_i$建立一个线性基，在建立的时候，如果一个$a_i$成功被插入到了这个线性基中，我们记录此时对应的$b_i$。否则，如果$a_i$可以通过线性基里已有的若干个数异或起来表示，同时，也满足$a_i$与这些数异或起来等于$0$，把此时$b_i$还剩下的值$b'$（在$a_i$插入过程中，$a_i$会在线性基中疯狂异或，同时$b_i$也会疯狂异或记录的$b$，最后会剩下一个$b'$）插入到另一个线性基中。

插入完成，我们枚举选出若干个牌之后正面的异或值$X$，然后判断 $X$是否能被若干个$a_i$合并，若能，此时会有一个对应的反面的异或和$Y$，是一组合法的特解。但是$Y$不一定是最大的，枚举第二个线性基，查询$Y$异或上若干个$b'$的最大值。

复杂度$O((n+V)logV)$

正解

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N = 100005, D = 40;
int n, a[N], b[N];
int T;
struct _bas1{int p[D], q[D];int insert(int u, int v){for (int i = 20; i >= 0; i--){if ((u >> i) & 1){if (p[i]){u ^= p[i];v ^= q[i];}else{p[i] = u;q[i] = v;return 0;}}}return v;}int query(int x){int res = 0;for (int i = 20; i >= 0; i--){if ((x >> i) & 1){if (!p[i])return -1;x ^= p[i];res ^= q[i];}}return res;}void clear(){fill(p, p + D, 0ll);fill(q, q + D, 0ll);}
}b1;
struct _bas2{int p[D];void insert(int x){for (int i = 20; i >= 0; i--){if ((x >> i) & 1){if (p[i]){x ^= p[i];}else{return p[i] = x, void();}}if (!x)return ;}}int querymx(int x){for (int i = 20; i >= 0; i--){if ((x ^ p[i]) >= x){x ^= p[i];}}return x;}void clear(){fill(p, p + D, 0ll);}
}b2;
signed main(){ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);freopen("card.in", "r", stdin);freopen("card.out", "w", stdout);cin >> T;while (T--){b1.clear();b2.clear();cin >> n;for (int i = 1; i <= n; i++)cin >> a[i];for (int i = 1; i <= n; i++)cin >> b[i];for (int i = 1; i <= n; i++){int res = b1.insert(a[i], b[i]);if (res)b2.insert(res);}int ans = 0;for (int i = 0; i < (1ll << 20); i++){int res = b1.query(i);if (res == -1)continue;ans = max(ans, b2.querymx(res) * i);}cout << ans << '\n';}
}

C.coin

提交链接：币

题面

题目描述

小 D 非常无聊，所以他开始记录自己掷硬币的结果。

如果硬币的正面朝上就在纸上写下一个 $1$，反面朝上就写下一个 $0$，将写下的数看成一个字符串，如果这个 $01$ 字符串的末尾 $n$ 个字符组成的子串正好是 $S_1$，那么小 $D$ 就会停下。

我们认为掷硬币的结果是一个独立的随机事件，正面朝上和反面朝上概率均为 $1/2$。

现在小 $D$ 已经投掷了 $m$ 次硬币，并以字符串的形式给出了这 $m$ 次投掷的结果 $S_2$，你想要知道，他期望再投掷多少次会停下。

为了避免精度误差，你只需要输出答案对 $10^9 + 7$ 取模的结果。

注意，如果在前 $m$ 次投掷的某次末尾的 $n$ 个字符已经组成 $S_1$，那么你应该输出 $0$。

输入格式

第一行一个正整数 $T$，表示测试数据组数。

每组测试数据包含两行，第一行一个整数 $n$ 和一个字符串 $S_1'$。

第二行一个整数 $m$ 和一个字符串 $S_2'$

原始的 $S_1$ 和 $S_2$ 需要从 $S_1'$ 和 $S_2'$ 解出。

加密串包含 'a'-'z'(分别代表 0 - 25)，和 'A'-'F'(分别代表 26 - 31)，将加密串的每个字符替换成对应数组的五位二进制数，比如 "An" 替换之后为 "1101001101"。替换之后取前 $n$ ($m$)个字符作为原始的 $S_1$ ($S_2$).

输出格式

对于每组数据，输出一行一个整数，表示答案。

3
1 a
0 a
3 a
2 a
8 An
3 B

2
8
254

3
10 rayisgay
13 gayisray
20 asdfjissjs
13 difisjfsdd
12 fdddddfdf
13 ddodododo

1020
1048512
4102

数据范围与提示

对于 20% 的数据 $n \le 3$
对于 30% 的数据, $n \le 10$
对于 50% 的数据, $n \le 100$
对于 70% 的数据, $n \le 2000$
对于 90% 的数据, $n \le 10^5$
对于 100% 的数据, $T \le 10, 1 \le |S_1'|, |S_2'| \le 200000, 1 \le n \le 5 \times |S_1'|, 0 \le m \le 5 \times |S_2'|, 1 \le \sum |S_1'|, \sum |S_2'| \le 10^6$

分析

法一

猜到的$KMP$。艹，你们AC自动机考爽了？还在出？尝试一下。匹配完成了$j$个字符，要匹配第$j+1$个字符时有两种情况：

$s_{j+1}=t_i$，状态从$j\rightarrow j+1$转移

$s_{j+1}\neq t_i$，状态从$j\rightarrow fail_j$

这个题上，我们每次概率生成$0$或$1$，然后：

如果这次生成的和之前生成的一样，那么状态从$i \rightarrow i+1$，否则，状态$i \rightarrow fail_i$

设$f_i$表示要走到$i+1$得到期望步数，有：
$$
f_i=1+\frac{1}{2}\sum\limits_{j=fail_i}^{i}f_j
$$
将右侧的$f_i$移到左侧，前缀和优化转移即可。

正解

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
#define rep(i, a, b) for (int i = (a); i <= (b); i++)
using namespace std;
const int N = 1000005, mod = 1e9 + 7, inv2 = (mod + 1) / 2;
int fplus(int x, int y) { return x + y >= mod ? x + y - mod : x + y; }
void Fplus(int &x, int y) { x = fplus(x, y); }
int fminus(int x, int y) { return x - y < 0 ? x + mod - y : x - y; }
void Fminus(int &x, int y) { x = fminus(x, y); }
int n, m, s[N], t[N], nxt[N], tr[N][2], f[N];
char ch[N];
void input(int *a) {scanf("%s", ch);int len = strlen(ch);rep(i, 0, len - 1) {int c = ch[i] >= 'a' && ch[i] <= 'z' ? ch[i] - 'a' : ch[i] - 'A' + 26;rep(j, 1, 5) a[i * 5 + j] = c >> (5 - j) & 1;}
}
bool Med;
int read() {int x = 0, f = 1;char c = getchar();while (c < '0' || c > '9') {if (c == '-')f = -1;c = getchar();}while (c >= '0' && c <= '9') {x = x * 10 + (c - '0');c = getchar();}return x * f;
}
signed main() {freopen("coin.in", "r", stdin);freopen("coin.out", "w", stdout);fprintf(stderr, "%3lfMb\n", (&Med - &Med) / 1024. / 1024.);for (int T = read(); T--;) {n = read(), input(s);m = read(), input(t);for (int i = 2, j = 0; i <= n; i++) {while (j && s[j + 1] != s[i])j = nxt[j];nxt[i] = j += s[j + 1] == s[i];}rep(i, 0, n - 1) {rep(j, 0, 1) {if (s[i + 1] == j)tr[i][j] = i + 1;elsetr[i][j] = i ? tr[nxt[i]][j] : 0;}}int cur = 0;rep(i, 1, m) {cur = tr[cur][t[i]];if (cur == n)break;}if (cur == n) {printf("0\n");continue;}f[0] = 2;rep(i, 1, n - 1) {int j = tr[i][0] ^ tr[i][1] ^ (i + 1);f[i] = fplus(2, fminus(f[i - 1], j ? f[j - 1] : 0));Fplus(f[i], f[i - 1]);}printf("%d\n", fminus(f[n - 1], cur ? f[cur - 1] : 0));}return 0;
}

何意味啊，我们看法二。

法二

期望是$\sum\limits_{i\in border(S)}2^i$。设$f_i$表示生成前$i$个字符所需要的期望次数，有：
$$
f_i=\sum\limits_{j\in border(S)}2^{j=f_{fail(i)}+2}i
$$
由于期望线性性，最终答案$f_n-f_{ex}$，$ex$是$s2$最长后缀满足是$s1$的前缀。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;// Options Start// #define NETWORK_FLOW
// #define SEGMENT_TREE
#define FILE_IO
#define MULTI_TESTS// Options End
#ifdef LOCAL_TEST
bool __mem_begin;
#endif
#define int long long
#define mid ((l + r) >> 1)
#ifndef LOCAL_TEST
#define endl '\n'
#endif
#ifdef SEGMENT_TREE
#define lson (p << 1)
#define rson (p << 1 | 1)
#endif
#ifdef NETWORK_FLOW
#define rev(p) (p ^ 1)
#endifconst int mod = 1e9 + 7;int quickpow(int a, int b) {int ret = 1;while (b) {if (b & 1) ret = ret * a % mod;a = a * a % mod; b >>= 1;}return ret;
}void work() {string s1, s2;int n, m;cin >> n >> s1;cin >> m >> s2;vector<int> a, b;a.push_back(-1);for (int i = 0; i < (int)s1.size(); ++i) {int x = 0;if (islower(s1[i])) x = s1[i] - 'a';else x = s1[i] - 'A' + 26;for (int j = 4; j >= 0; --j) {if (x >> j & 1) a.push_back(1);else a.push_back(0);}}a.erase(a.begin() + n + 1, a.end());b.push_back(-1);for (int i = 0; i < (int)s2.size(); ++i) {int x = 0;if (islower(s2[i])) x = s2[i] - 'a';else x = s2[i] - 'A' + 26;for (int j = 4; j >= 0; --j) {if (x >> j & 1) b.push_back(1);else b.push_back(0);}}b.erase(b.begin() + m + 1, b.end());// cout << "a=" << a.size() << endl;// for (auto x:a)// 	cout << x << ' ';// cout << endl;// cout << "b=" << b.size() << endl;// for (auto x:b)// 	cout << x << ' ';// cout << endl;vector<int> fail(n + 1), f(n + 1);int j = 0;for (int i = 2; i <= n; ++i) {while (j && a[j + 1] != a[i]) j = fail[j];if (a[j + 1] == a[i]) j++;fail[i] = j;}j = 0;for (int i = 1; i <= m; ++i) {while (j && a[j + 1] != b[i]) j = fail[j];if (a[j + 1] == b[i]) ++j;if (j >= n) return cout << 0 << endl, void();}// cout << "f=" << endl;for (int i = 1; i <= n; ++i) {f[i] = (f[fail[i]] + quickpow(2, i)) % mod;// cout << f[i] << ' ';}// cout << endl;vector<int> c, failc;c.push_back(-1);c.insert(c.end(), a.begin() + 1, a.end());c.push_back('#');c.insert(c.end(), b.begin() + 1, b.end());failc.resize(c.size());j = 0;for (int i = 2; i < (int)c.size(); ++i) {while (j && c[j + 1] != c[i]) j = failc[j];if (c[j + 1] == c[i]) j++;failc[i] = j;}int ex = failc.back();ex = min(ex, n);// cout << "ex=" << ex << endl;cout << (f[n] - f[ex] + mod) % mod << endl;
}#ifdef LOCAL_TEST
bool __mem_end;
#endifsigned main(void) {
#ifdef FILE_IO
#ifndef LOCAL_TESTfreopen("coin.in", "r", stdin);freopen("coin.out", "w", stdout);
#endif
#endifios::sync_with_stdio(false); cin.tie(NULL);srand(time(nullptr));
#ifdef MULTI_TESTSint T = 1; cin >> T; T--;while (T--) work();
#endifwork();return 0;
}