P7960 [NOIP2021] 报数
题目描述
报数游戏是一个广为流传的休闲小游戏。参加游戏的每个人要按一定顺序轮流报数，但如果下一个报的数是 \(7\) 的倍数，或十进制表示中含有数字 \(7\)，就必须跳过这个数，否则就输掉了游戏。
在一个风和日丽的下午，刚刚结束 SPC20nn 比赛的小 r 和小 z 闲得无聊玩起了这个报数游戏。但在只有两个人玩的情况下计算起来还是比较容易的，因此他们玩了很久也没分出胜负。此时小 z 灵光一闪，决定把这个游戏加强：任何一个十进制中含有数字 \(7\) 的数，它的所有倍数都不能报出来！
形式化地，设 \(p(x)\) 表示 \(x\) 的十进制表示中是否含有数字 \(7\)，若含有则 \(p(x) = 1\)，否则 \(p(x) = 0\)。则一个正整数 \(x\) 不能被报出，当且仅当存在正整数 \(y\) 和 \(z\) ，使得 \(x = yz\) 且 \(p(y) = 1\)。
例如，如果小 r 报出了 \(6\) ，由于 \(7\) 不能报，所以小 z 下一个需要报 \(8\)；如果小 r 报出了 \(33\)，则由于 \(34 = 17 \times 2\)，\(35 = 7 \times 5\) 都不能报，小 z 下一个需要报出 \(36\) ；如果小 r 报出了 \(69\)，由于 \(70 \sim 79\) 的数都含有 \(7\)，小 z 下一个需要报出 \(80\) 才行。
现在小 r 的上一个数报出了 \(x\)，小 z 想快速算出他下一个数要报多少，不过他很快就发现这个游戏可比原版的游戏难算多了，于是他需要你的帮助。当然，如果小 r 报出的 x 本身是不能报出的，你也要快速反应过来小 r 输了才行。
由于小 r 和小 z 玩了很长时间游戏，你也需要回答小 z 的很多个问题。
输入格式
第一行，一个正整数 \(T\) 表示小 z 询问的数量。
接下来 \(T\) 行，每行一个正整数 \(x\)，表示这一次小 r 报出的数。
输出格式
输出共 \(T\) 行，每行一个整数，如果小 r 这一次报出的数是不能报出的，输出 \(-1\)，否则输出小 z 下一次报出的数是多少。
输入输出样例 #1
输入 #1
4
6
33
69
300
输出 #1
8
36
80
-1
输入输出样例 #2
输入 #2
5
90
99
106
114
169
输出 #2
92
100
109
-1
180
输入输出样例 #3
输入 #3
见附件中的 number/number3.in
输出 #3
见附件中的 number/number3.ans
输入输出样例 #4
输入 #4
见附件中的 number/number4.in
输出 #4
见附件中的 number/number4.ans
说明/提示
【样例解释 #1】
这一组样例的前 \(3\) 次询问在题目描述中已有解释。
对于第 \(4\) 次询问，由于 \(300 = 75 \times 4\)，而 \(75\) 中含有 \(7\) ，所以小 r 直接输掉了游戏。
【数据范围】
对于 \(10\%\) 的数据，\(T \leq 10\)，\(x \leq 100\)。
对于 \(30\%\) 的数据，\(T \leq 100\)，\(x \leq 1000\)。
对于 \(50\%\) 的数据，\(T \leq 1000\)，\(x \leq 10000\)。
对于 \(70\%\) 的数据，\(T \leq 10000\)，\(x \leq 2 \times {10}^5\)。
对于 \(100\%\) 的数据，\(1 \le T \leq 2 \times {10}^5\)，\(1 \le x \leq {10}^7\)。
思路
注意到数据范围不是很大，一个一个往后枚举去搜可能会爆时间，因此选择提前处理，后面直接用已经处理过的数组代入快速筛；
筛法具题意很好想出：
- 对于是7的倍数的数直接筛就行了。
- 对于含7的十进制数及其倍数则进行以下处理：
注意到7可以方便的枚举出在每个位数的情况：\(t=7\) 所在的位数；即\(0\le j \leq 10^{t-1}-1\)，\(7*10^{t}+j\) 即可表示所有在该位含7的基数。
则所有在含该位下的7的所有数，只需要枚举7以前的所有数即可，故只需要依次递增\(10^{t}\)即可。
接下来对于每个找到的数再倍速枚举即筛掉了所有不能说的数。
然而这还不够，明显在面对每个问题一个个向后去找有很多重复的无用步骤，所以：
- 我们可以仍然进行预处理，建立数组 \(a\) ,\(a_i\)表示对于第\(i\)个数它之后能说的下一个数为\(a_i\)。
- 接下来顺序枚举所有数，当遇到没有被标记为不能说的数的数\(i\)，直接将之前所有未赋值的\(a_j\)全部赋值为当前找的\(i\)，这样提前预处理完，在后面的找的过程中就可以直接\(O(1)\)解决，省去了重复查找的过程。
code
- 代码如下
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int t;
bool b[15000000];
int a[15000000];
int p(int x) //求10的x次方
{int y=1;for(int i=1;i<=x;i++){y*=10;}return y;
}
int main()
{for(int i=1;i*7<=10005000;i++){b[i*7]=1; //筛去7的倍数}for(int i=1;i<=7;i++){ int con=p(i-1);int co=con*10;for(int k=0;k*co+7*con+con-1<=10005000;k++){for(int j=0;j<=con-1;j++) // 三层循环找7在位上的所有数{int num=k*co+7*con+j;b[num]=1;int w=2;while(w*num<=10005000){if(!b[w*num]) //倍数枚举筛去所有倍数b[w*num]=1;w++;}}}}int mao=0;for(int j=1;j<=10005000;j++) //预处理找下一个能说的数标记{if(!b[j]){for(int i=mao;i<j;i++)a[i]=j;mao=j;}}cin>>t;for(int i=1;i<=t;i++){int x;cin>>x;if(b[x])cout<<"-1"<<endl; //如果已经是不能说的数else{cout<<a[x]<<endl; //否则直接输出先前已经找过的ax}}return 0;
}
)
