在家集训也能叫游记吗？
总所周知每一个OIer都爱写这东西 （欸我CSP-S游记还没写） ，所以在家集训也要写。
DAY1 11.9
有点忘了，游记是10号写的。
好像不安了一天，因为我太菜了，也有点想学校里的朋友。
学习了 kruskal 重构树，它满足二叉堆的性质，可以做让最小边权最大（降序排边），让最大边权最小（升序排边）的问题
例题：洛谷P4768 [NOI2018] 归程
重构树+最短路，在重构树上倍增找到海拔最低的不会被淹的虚点，其子树就是能坐车到的所有点，然后输出子树里的最短路。
这题的“其子树就是能坐车到的所有点”利用了二叉堆性质，即根节点和子节点一定成偏序关系，很有价值。
多组询问+多测的图论题最出生了，硬调2.5h。
DAY 11.10
回学校取了趟书，同学们真好呜呜呜。
今天是数论。
P5253 [JSOI2013] 丢番图
所以是求\(n^2\)的因数对个数。
直接算\(O(n)\)超时，对\(n\)进行质因数分解，\(n=\sum_{i=1}^{k}p_i^{e_i}\)，那么\(n^2=\sum_{i=1}^{k}p_i^{2e_i}\)，每个质因数都有选\(0-2e_i\)共\(2e_i+1\)种选择，可以看出来这样是不会重复的，因此因数个数为\(\prod_{i=1}^{k}(2e_i+1)\)，结合超过\(\sqrt{n}\)的质因数最多只有一个的性质，时间复杂度\(O(\sqrt{n})\)，因数肯定是首位配对，又因为\(n^2\)一定为完全平方数，中间会有个多出来的，因此答案为\(\frac{\prod_{i=1}^{k}(2e_i+1)}{2}+1\)。
P1445 [Violet] 樱花
和上面的题一样，问题在于求每个质数在\(n!\)的质因子里出现了多少次。
GH大神使用了下面的公式（勒让德定理），其中\(e_p\)为质数\(p\)在\(n!\)质因子里出现的个数。
然而其实对\(1-n\)暴力质因数分解可以直接卡过去
然后我忘了区间筛怎么写了，欧拉函数递推公式看一遍忘一遍。
P4626 一道水题 II
注意到\(lcm(1,2,3,\dots,n)\)等价于\(\prod_{i=1}^{k}p_i^{e_i}\)，其中\(e_i=\lfloor\log_{p_i}n\rfloor\)。
居然被我切了，那确实水
这个题的模数是\(10^8+7\)，是的这也是个质数，被坑了，出题人想干啥
P1306 斐波那契公约数
首先，神人结论，\(F[n]\)为斐波那契数列第\(n\)项，假定\(n<m\)：
GH大神：
???孩子们是结论大赛我们没救了
设\(F[n]=a,F[n+1]=b,F[n+2]=a+b,F[n+3]=a+2b,F[n+4]=2a+3b\dots\)
欸，这可以看出来\(a\)和\(b\)的系数其实也是个斐波那契数列。（注意力惊人)
则\(F[m]=F[m-n-1]a+F[m-n]b\)，即\(F[m]=F[m-n-1]·F[n]+F[m-n]·F[n+1]\)。
带入原式
引理(???):
证明：
那么原式就又可以简化为\(\gcd(F[n],F[m])=\gcd(F[n],F[m-n])\)了。
再令\(m'=m-n\)，就可以继续递归，得到\(\gcd(F[n],F[m])=\gcd(F[n],F[m\mod n])\)。
由于\(m\mod n<n\)，可以再令\(n'=m\mod n,m'=n\)，得到
再次注意到\(n,m\)的交替实际上是在求\(n'=\gcd(n,m)\)，最后剩下的就是\(\gcd(F[n'],0)=F[\gcd(n,m)]\)，证毕。
天哪每一步都是惊人的注意力吗。
浅色调dalao也太强了。
欸不是模数\(10^8\)我怎么又被坑了。
值得一提的是，同机房LZC大佬也遇到了个模数为\(998442353\)的题。
已完成今日模数不只有\(998244353\)和\(10^9+7\)大学习
