最小瓶颈生成树

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\(\text{MBST}\)（\(\text{Minimum Bottleneck Spanning Tree}\)）指的是求一颗生成树，其中最大的边权最小（所以也叫 \(\text{min-max spanning tree}\)）。和最小树形图一样，也有有向图版本（\(\text{MBSA}\)）。

MST

考虑到我们求解最小生成树的过程，不难发现 \(\text{MST}\) 就是一个 \(\text{MBST}\)。

假设有一颗 \(\text{MST}\) \(T\)不是 \(\text{MBST}\)。也就是存在一颗生成树 \(T^\prime\)，其中所有边权都小于 \(T\) 中最大边权 \(w(e)\)，那么考虑在 \(T^\prime\) 却不在 \(T\) 中的边 \(e^\prime\)，要么其不与一条包含 \(e\) 的 \(T\) 上路径成环，此时 \(T^\prime\) 也必须选中 \(e\)；要么与一条包含 \(e\) 的 \(T\) 上路径成环，此时删去 \(e\)，加入 \(e^\prime\) 可以得到比 \(T\) 更小的生成树。综上，可知不存在这样的 \(T^\prime\)。也就是 \(\text{MST}\) 都是 \(\text{MBST}\)。

虽然有线性最小生成树的求法，但是对于 \(\text{MBST}\)，我们有更简单的求法。

无向图

考虑图 \(G=\langle V,E\rangle,w:E\mapsto\mathbb{R}\)。我们考虑一个分治的做法，二分边集为 \(E_{l},E_{r}\)，满足 \(\forall l\in E_l,r\in E_r,w(l)\le w(r)\) 且 \(E_l\cup E_r=E,||E_l|-|E_r||\le1\)。

随后，我们对于 \(G_l=\langle V,E_l\rangle\) 递归地做，终止条件是边集为空或只有 \(1\) 条边（那么就连边）。如果 \(G_l\) 中已经求出一颗 \(\text{MBST}\)，那么我们就不需要考虑 \(E_r\) 中的边了。

否则，\(G_l\) 求解后，\(G\) 会被分成若干连通块 \(c_1,c_2,c_3\ldots c_k\)，把每个连通块缩点得到 \(C=\{c_1,c_2,c_3\ldots c_k\}\)，然后保留连通块间属于 \(E_r\) 的边，使得 \(\forall e=(u,v)\in E_r\land u\in c_i\land v\in c_j,e^\prime=(c_i,c_j)\in E^\prime,w^\prime(e^\prime)=w(e)\)。然后在新图 \(G^\prime=\langle C,E^\prime\rangle,w^\prime:E^\prime\mapsto\mathbb{R}\) 上递归即可。

看上去这是一个 \(T(|E|)=2T(\frac{|E|}{2})+O(|E|)\Rightarrow T(|E|)=O(|E|\log |E|)\) 的做法，但是可以注意到有一个剪枝。

对于 \(G_l\)，我们跑一个 \(O(|V|+|E|)\) 的 \(\text{dfs}\) 就可以判断其是否连通，如果连通就一定可以找到一个生成树没有 \(E_r\) 中的边，那么加入 \(E_r\) 中的边就没有必要；否则瓶颈一定由 \(E_r\) 中的边提供，此时我们只需要计算 \(G^\prime\) 的答案即可。于是 \(T(|E|)=T(\frac{|E|}{2})+O(|V|+|E|)\Rightarrow T(|E|)=O(|V|\log|E|+|E|)\)。

而在 \(\text{dfs}\) 前，若 \(|V|-|E|>1\) 就一定不可能连通，无需 \(\text{dfs}\)，于是可以约束到 \(|V|=O(|E|)\)，那么此时 \(T(|E|)=T(\frac{|E|}{2})+O(|E|)\Rightarrow T(|E|)=O(|E|)\)。

有向图

和 \(\text{MST}\) 不同，此时我们就不需要关注路径之间的重叠关系了，直接运行最短路的 \(\text{Dijkstra}\) 算法即可，将松弛的 \(d(v)=\min\{d(v),d(p)+w(p,v)\}\) 修改为 \(d(v)=\min\{d(v),\min\{d(p),w(p,v)\}\}\) 即可。运用 \(\text{Fib}\) 堆优化，依然可以做到 \(O(|V|\log|V|+|E|)\)，而答案就是所有点的 \(d\) 值中的最大值。