AVL树

【0】README

0.1）本文给出了平衡二叉树（AVL树）的插入例程涉及到的单旋转+双旋转的概念，并给出了代码实现；
0.2）本文源代码均为原创，当然相关idea 还是借鉴人家的；（真心有点难，这个实现起来）
0.3） for detailed single rotate and double rotates , please visit http://blog.csdn.net/PacosonSWJTU/article/details/50522677

【1】AVL树

1.1）定义： AVL树是根据它的发明者G. M. Adelson-Velskii和E. M. Landis命名的。它是一种特殊的二叉查找树；
1.2）AVL树要求: 任一节点的左子树深度和右子树深度相差不超过1（空树高度定义为－１）；
1.3）最简单的想法：要求左右子树具有相同的高度，这种想法并不强求树的深度要浅；
1.4）我们把必须重新平衡的节点叫做 α，由于任意节点最多有两个儿子，因此高度不平衡时， α 点的两颗子树的高度差2；

【2】AVL树的不平衡情况分析

2.1）AVL树的不平衡可能出现在下面四种情况：

1）对α 的左儿子的左子树进行一次插入（左-左）；
2）对α 的左儿子的右子树进行一次插入（左-右）；
3）对α 的右儿子的左子树进行一次插入（右-左）；
4）对α 的右儿子的右子树进行一次插入（右-右）；

2.2）对以上情况的Analysis：

A1）上述情况中的第1种和第4种情况是插入发生在外部的情况（即左-左 or 右-右情况），这种情况通过单旋转来处理；
A2）上述情况中的第2种和第3种情况是插入发生在内部的情况（即左-右 or 右-左情况），这种情况通过双旋转来处理；

2.3）单旋转（以图为荔枝）
2.3.1）左-左情况的单旋转： 把树形象地看成是柔软灵活的，抓住节点2 ，使劲摇动它，在重力作用下，节点2 就变成了新树的根；二叉查找树的性质告诉我们：在原树中，节点3大于节点2，所以在新树中，节点3要从成为节点2 的右儿子；（后面的情况以此类推）

Warning）要知道，左左插入的情况下，不平衡树的左子树或者有右孩子，或者没有右孩子，但是我们在编程的时候，都要视为它有右孩子（因为即使算上，那也是NULL），所以首先要用 temp 来暂存不平衡树的左子树的右孩子，最后还要把暂存的右孩子赋给根节点的左孩子（因为不平衡树的左子树的所有节点值都小于不平衡树的根，也顺便把不平衡树的左子树置空（可能的话））；
souce code as follows:

AVLTree singleRotateLeftLeft(AVLTree root) // the case is left-left
{AVLTree temp; AVLTree left;   left = root->left;temp = left->right;left->right = root;root->left = temp;root->height = getHeight(root);     return left;
}

这里写图片描述

2.3.2）右-右情况的单旋转： 把树形象地看成是柔软灵活的，抓住节点4 ，使劲摇动它，在重力作用下，节点4 就变成了新树的根；二叉查找树的性质告诉我们：在原树中，节点3小于节点4，所以在新树中，节点4要从成为节点3 的左儿子；（后面的情况以此类推）

Warning）要知道，右插入的情况下，不平衡树的右子树或者有左孩子，或者没有左孩子，但是我们在编程的时候，都要视为它有左孩子（因为即使算上，那也是NULL），所以首先要用 temp 来暂存不平衡树的右子树的左孩子，最后还要把暂存的左孩子赋给根节点的右孩子（因为不平衡树的右子树的所有节点值都大于不平衡树的根，也顺便把不平衡树的右子树置空（可能的话））；
souce code as follows:

 AVLTree singleRotateRightRight(AVLTree root) // the case is right-right
{AVLTree temp; AVLTree right;  right = root->right;temp = right->left;right->left = root;root->right = temp;root->height = max(getHeight(root->left), getHeight(root->right)) + 1;      return right;
}

这里写图片描述

2.4）双旋转：
2.4.1）左-右情况的双旋转（我们以下图插入节点9为荔枝）：也即是对于不平衡节点10 的左儿子节点8 的右子树NULL 进行一次插入节点9：

step1）将插入左儿子右子树的结构转换为左儿子左子树的结构；
step2）将左儿子左子树的结构进行左-左单旋转；
souce code as follows:

AVLTree doubleRotateLeftRight(AVLTree root) // the case is left-right
{AVLTree temp;AVLTree right;temp = root->left;right = temp->right;root->left = right; // convert left-right into left-lefttemp->right = right->left;right->left= temp;temp->height = getHeight(temp);return singleRotateLeftLeft(root);  // the case is left-left
}

这里写图片描述

2.4.2）右-左情况的双旋转（我们以下图插入节点15为荔枝）：也即是对于不平衡节点7 的右儿子节点16 的左子树NULL 进行一次插入节点15：

step1）将插入右儿子左子树的结构转换为右儿子右子树的结构；
step2）将右儿子右子树的结构进行右-右单旋转；

souce code as follows:

AVLTree doubleRotateRightLeft(AVLTree root) // the case is right-left
{AVLTree temp;AVLTree left;temp = root->right;left = temp->left;root->right = left; // convert right-left into right-righttemp->left = left->right;left->right = temp;temp->height = getHeight(temp);return singleRotateRightRight(root); // the case is right-right     
}

这里写图片描述

【3】source code

3.1）download source code： https://github.com/pacosonTang/dataStructure-algorithmAnalysis/blob/master/chapter4/p80_AVL_tree.c
3.2）source code at a glance :

#include <stdio.h>
#include <malloc.h>#define ElementType int
#define Error(str) printf("\n error: %s \n",str)   struct AVLTree;
typedef struct AVLTree *AVLTree;AVLTree createAVLTree(ElementType);
AVLTree makeEmpty(AVLTree);
AVLTree insert(ElementType, AVLTree) ;
AVLTree deleteAVLTree(ElementType e, AVLTree root);
ElementType Retrieve(AVLTree);AVLTree singleRotateLeftLeft(AVLTree root);
AVLTree singleRotateRightRight(AVLTree root);
AVLTree doubleRotateLeftRight(AVLTree root);
AVLTree doubleRotateRightLeft(AVLTree root);int getHeight(AVLTree root);// we adopt child-sibling notation
struct AVLTree
{ElementType value;AVLTree left;AVLTree right;int height;
};
//get the maximum
int max(int a, int b)
{return  a > b ? a : b;
}// get the height
int getHeight(AVLTree root)
{if(!root)return -1;elsereturn 1 + max(getHeight(root->left), getHeight(root->right));
}// create a AVLTree with root node
AVLTree createAVLTree(ElementType value)
{   AVLTree t;t = (AVLTree)malloc(sizeof(struct AVLTree));if(!t) {Error("out of space, from func createAVLTree");        return NULL;}    t->left = NULL;t->right = NULL;    t->value = value;t->height = 0;return t;
}// make the AVLTree empty 
AVLTree makeEmpty(AVLTree t)
{if(t){makeEmpty(t->left);makeEmpty(t->right);        free(t);}           return NULL;
}AVLTree doubleRotateLeftRight(AVLTree root) // the case is left-right
{AVLTree temp;AVLTree right;temp = root->left;right = temp->right;root->left = right; // convert left-right into left-lefttemp->right = right->left;right->left= temp;temp->height = getHeight(temp);return singleRotateLeftLeft(root);  // the case is left-left
}AVLTree doubleRotateRightLeft(AVLTree root) // the case is right-left
{AVLTree temp;AVLTree left;temp = root->right;left = temp->left;root->right = left; // convert right-left into right-righttemp->left = left->right;left->right = temp;temp->height = getHeight(temp);return singleRotateRightRight(root); // the case is right-right     
}AVLTree singleRotateLeftLeft(AVLTree root) // the case is left-left
{AVLTree temp; AVLTree left;   left = root->left;temp = left->right;left->right = root;root->left = temp;root->height = getHeight(root);     return left;
}AVLTree singleRotateRightRight(AVLTree root) // the case is right-right
{AVLTree temp; AVLTree right;  right = root->right;temp = right->left;right->left = root;root->right = temp;root->height = max(getHeight(root->left), getHeight(root->right)) + 1;      return right;
}AVLTree insert(ElementType e, AVLTree root) 
{           if(!root) {// find the node with its left or right being NULLroot = createAVLTree(e);if(root)  return root;                     else return NULL;}if(e > root->value) { root->right = insert(e, root->right); if(getHeight(root->right) - getHeight(root->left) == 2) { // after insertion, we should judge whether the tree is balanced or notif(e > root->right->value) // the case is right-rightroot = singleRotateRightRight(root);else    // the case is right-leftroot = doubleRotateRightLeft(root);}}else if(e < root->value) { root->left = insert(e, root->left); if(getHeight(root->left) - getHeight(root->right) == 2) { // after insertion, we should judge whether the tree is balanced or notif(e < root->left->value) // the case is left-leftroot = singleRotateLeftLeft(root);else    // the case is left-rightroot = doubleRotateLeftRight(root);}}elseError(" you cannot insert the node into the tree for its value equals to one in the tree");  root->height = max(getHeight(root->left), getHeight(root->right)) + 1; // after insertion, root's height increses one layerreturn root; // dont't forget this line !
}  // analog print directories and files name in the AVLTree, which involves postorder traversal. 
void printPreorder(int depth, AVLTree root)
{           int i;if(root) {      for(i = 0; i < depth; i++)printf("    ");     printf("%d\n", root->value);printPreorder(depth + 1, root->left);                                           printPreorder(depth + 1, root->right); // Attention: there's difference between traversing binary tree and common tree                          }else {for(i = 0; i < depth; i++)printf("    ");     printf("NULL\n");}
} int main()
{AVLTree root;       printf("\n ====== test for building the AVLTree ====== \n");            printf("\n [the left-left case] test for creating a AVL tree with inserting 3, 2, 1 in trun \n");   root = NULL;root = insert(3, root); root = insert(2, root); root = insert(1, root); printPreorder(1, root); printf("\n [the right-right case] test for inserting node '4' and '5' in turn \n");     insert(4, root);insert(5, root);printPreorder(1, root);          printf("\n [the right-right case] test for inserting node '6 in turn \n");      root = insert(6, root); printPreorder(1, root); printf("\n [the right-right case] test for inserting node '7' and '16' in turn \n");        root = insert(7, root);root = insert(16, root);printPreorder(1, root); printf("\n [the right-left case] test for inserting node '15' in turn \n");     root = insert(15, root);     printPreorder(1, root); printf("\n [the right-left case] test for inserting node '14' in turn \n");     root = insert(14, root);     printPreorder(1, root);     printf("\n [the right-left case] test for inserting node '13' in turn \n");     root = insert(13, root);     printPreorder(1, root); printf("\n [the left-left case] test for inserting node '12' in turn \n");      root = insert(12, root);     printPreorder(1, root); printf("\n [the left-left case] test for inserting node '11' and '10' in turn \n");     root = insert(11, root);     root = insert(10, root);     printPreorder(1, root); printf("\n [the left-left case] test for inserting node '8' in turn \n");       root = insert(8, root);  printPreorder(1, root); printf("\n [the left-right case] test for inserting node '9' in turn \n");      root = insert(9, root);  printPreorder(1, root);      return 0;
}