正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P6091

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题目大意

给出一个数$p$，求出它的所有在$[0,p]$的原根。

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解题思路

原根的定义，${\delta }_p(a)$表示一个最小的$n$使得$a^n\equiv 1(modp)$，若$gcd(a,p)=1$且${\delta }_p(a)=\phi (p)$则$a$为$p$的一个原根。

两个个结论就是一个数有原根当且仅当它为$2,4,p^a,2p^a$（其中$p$为奇质数，$a\in N^{+}$）。还有若$g$表示最小正原根，那么其他原根可以被表示为$g^k\%p(gcd(\phi (p),k)=1)$。

这两个结论在洛谷题解都有详细证明，这里就不多赘述了。

那么考虑如何求出最小正原根，因为原根的数量大约有$\phi (\phi (p))$个，所以密集度比较高，据说最小正原根约是$O(n^{2.5})$级别的。

所以考虑直接枚举，但是我们判定的时候肯定不能从$1\sim \phi (p)$枚举来判断。

我们还需要用到一个结论就是如果对于$gcd(a,p)=1$且$a^k\equiv 1(modp)$（也就是$k$是$a$模$n$的阶），那么有$k|\phi (p)$。所以我们需要判定$\phi (p)$的所有因子？看起来还是很大，但是我们显然有$a^k\equiv 1(modp)$那么$a^{kx}\equiv 1(modp)$其中$x\in N^{+}$。所以我们只需要枚举$\frac{\phi (p)}{k}$（其中$k$是$\phi (p)$的质因子）即可，因为这些数包含了其他数的倍数。

时间复杂度$O(n^{0.25}\log n)$

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=1e6+10;
ll T,n,d,cnt,phi[N],pri[N];
bool v[N],rt[N];
vector<int> q;
void prime(){phi[1]=1;for(ll i=2;i<N;i++){if(!v[i])pri[++cnt]=i,phi[i]=i-1;for(ll j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<N;j++){v[i*pri[j]]=1;if(i%pri[j]==0){phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];break;}phi[i*pri[j]]=phi[i]*phi[pri[j]];}}rt[2]=rt[4]=1;for(ll i=2;i<=cnt;i++){for(ll j=1;j<N;j*=pri[i])rt[j]=1;for(ll j=2;j<N;j*=pri[i])rt[j]=1;}return;
}
ll power(ll x,ll b,ll p){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*x%p;x=x*x%p;b>>=1;}return ans;
}
ll gcd(ll x,ll y)
{return (!y)?x:gcd(y,x%y);}
void dec_phi(ll x){for(ll i=1;i<=cnt&&pri[i]*pri[i]<=x;i++)if(x%pri[i]==0){q.push_back(pri[i]);while(x%pri[i]==0)x/=pri[i];}if(x!=1)q.push_back(x);return;
}
bool check(ll x){if(power(x,phi[n],n)!=1)return 0;for(ll i=0;i<q.size();i++)if(power(x,phi[n]/q[i],n)==1)return 0;return 1;
}
signed main()
{scanf("%lld",&T);prime();while(T--){scanf("%lld%lld",&n,&d);q.clear();if(!rt[n]){printf("0\n\n");continue;}dec_phi(phi[n]);ll g=1;while(!check(g))g++;ll tmp=1;q.clear();for(ll i=1;i<=phi[n];i++){tmp=tmp*g%n;if(gcd(phi[n],i)==1)q.push_back(tmp);}printf("%lld\n",q.size());sort(q.begin(),q.end());for(ll i=1;i<=q.size()/d;i++)printf("%lld ",q[i*d-1]);putchar('\n');}return 0;
}