建立Ω的多边形区域向量图。

由图知坐标原点与多边形任意相邻的两个顶点构成一个三角形，而三角形的面积可由三个顶点构成的两个平面向量的外积求得。

任意多边形的面积公式

多边形计算公式的计算和原点的选取没有关系，通常可以选点（0,0）或者多边形的第一个点（这个时候比较直观了，看起来就是把多边形分成一个个三角形和加起来，读者自己可以画个图）就可以了。

//任意多边形的面积计算#include <iostream>
#include <utility>
#include <cmath>
using std::cout;
using std::cin;
using std::endl;typedef std::pair<double ,double> point;#pragma warning(disable:4244)double det(point p0,point p1,point p2)
{return (p1.first-p0.first)*(p2.second-p0.second)-(p1.second-p0.second)*(p2.first-p0.first);
}double ploygon_area(int n,point p[])  
{double s=0.0f;int i=1;for(;i < n-1;i++)s += det(p[0],p[i],p[i+1]);return 0.5*fabs(s);
}int main(int argc, char *argv[])
{int i,n;double s;point *points = NULL;cout<<"Enter the number of edges of the polygon <n>:";cin>>n;if(n < 2){exit(1);}points = (point *)malloc(n*sizeof(point));for(i=0; i<n; i++){cout<<endl<<"points["<<i<<"]=";cin>>points[i].first>>points[i].second;}s=ploygon_area(n, points);cout<<"The area is:"<<s<<std::endl;if(points)free(points);return 1;
}