11.22题解

news/2025/11/22 20:29:37/文章来源:https://www.cnblogs.com/yanbinmu/p/19256606

A.栞

考虑面积公式 \(S = \frac{1}{2} ab \sin C\)，则 \(4S^2 = ab(1 - \cos^2C)\)，则我固定 ab 的情况下，我要 \(\sinC\) 最大，也就是 cos 绝对值最小。

考虑定序，若令 \(a > b > c\) 那么 C 一定是锐角，那么就要令 c 最大；同理可知 b 也要最大，那么就得到了一个性质：abc 一定是相邻的三个数。

B. 路径交

这一看和概率并不很相关，考虑计数。也就是统计所有选取方案中重叠长度之和。

方法一：拆贡献

首先肯定想对于一个路径做操作，但不好做，我们考虑拆成和边相关，看每条边贡献给那些选取方案。
考虑那个期望的形式是一个 \(X^2\)，那么如果有一条路径是 \({e_1, e_2.....e_k}\) 那么答案就是 \(\sum e_i^2 + \sum_{i \not= j}2e_i \times e_j\)。

对于一条边 \((u, v)\)，那么第一部分的代价是： \(siz_v \times (n - siz_v)\)
如果记 \(siz_u\) 是子树大小，\(sum_u\) 是 u 子树内 \(siz^2\) 的和。
第二部分我们需要分讨一下，在这里我们只统计经过 u 的那些贡献：

如果另一条边在 v 子树内，那么答案是在 v 的子树内选一个点（不可以是 v），选择 v 到 \(fa_v\) 的那条边，然后继续往下延伸，因为两条边有顺序所以要乘二。然后两条路径要出去，所以要乘上 \((n - siz_v)^2\)。所以答案是 \(2 \times (sum_v - siz_v^2) \times (n - siz_v)^2\)。
如果在不同子树，那么两条路径一边在 v 内，一边 u 的除 v 外子树内，即为 \(sum_v \times (sum_u - sum_v - siz_u^2)\)。

方法二：LCA 处统计

其实很类似，但是我们考虑两条边 \((i, fa_i), (j, fa_j)\) 这两条边同时被经过的路径数量，因为这个点对有序，所以一条边刚好算一次。
如果 ij 没有祖先关系，那么就是分别两个子树内选，\(siz_i^2 siz_j^2\)。那么就是要统计 \(LCA(i, j) = u\) 的点对个数。
同样，如果记 \(siz_u\) 是子树大小，\(sum_u\) 是 u 子树内 \(siz^2\) 的和。
枚举 u，如果 v 是 u 的儿子，答案就是 \((\sum s_v)^2 - \sum s_v^2\)。

如果不妨令 i 是 j 的祖先（j 是 i 祖先是一样的，乘二即可），先判掉 i == j，答案就是 \(siz_v(n - siz_v)\)。
否则方案数是 \((n - siz_i) \times siz_j\)，那么枚举 i，总贡献是 \(2(n - siz_i)^2(sum_i - siz_i^2)\)。