在整数这个崭新的世界里，乘法是畅通无阻的。但它的逆运算——除法，又成了新的不可能任务。6 / 3 = 2，没问题，结果还是个整数。但 3 / 6 呢？2 / 3 呢？1 / 2 呢？在整数的世界里，没有它们的容身之处。
是时候再次启动我们的“创世工具”流水线了。我们将现场展示，如何用完全一样的“有序对+等价关系”模具，锻造出下一件神器——有理数。
初步构想， 我们把一个分数想象成 (整数a, 整数b)，其中 b ≠ 0。这个有序对不代表 a / b 的结果，因为结果可能还不存在，而是代表“a / b”这个概念本身。比如，(3, 6) 就代表 3 / 6；(1, 2) 就代表 1 / 2，；(2, 3) 就代表 2 / 3。
问题是， 表示法不唯一！(3, 6)、(1, 2) 和 (50, 100) 都代表同一个值。
解决方案， 再次启动等价关系！我们宣布，两个有序对 (a, b) 和 (c, d) 是“等价的”，当且仅当 a * d = b * c。 检查一下：(3, 6) 和 (1, 2) 等价吗？因为 3 * 2 = 6 * 1 (6=6)，所以等价。看！我们没有用除法，只用整数的乘法就定义了这个等价关系！
一个有理数，就是所有在这种等价关系下彼此等价的有序对的集合，也就是一个等价类。有理数 1/2 就是 { (1,2), (2,4), (3,6), (-1,-2), ... } 这个巨大的集合。有理数 2/3 就是 { (2,3), (4,6), (6,9), (-2,-3), ... } 这个巨大的集合。
于是，我们再次成功了！ 我们从一个完美的整数世界出发，利用完全相同的思维模式，构建了一个更新的、更稠密的数学宇宙：有理数集 ℚ。在这个新宇宙里，除法（除数不为零）也终于成为了一个畅通无阻的“全程函数”。
等价关系不可以随便定义，它必须满足三条非常严格、非常优雅的“公理”。一个关系 ~ 要能被称为“等价关系”，它必须同时是：
- 自反的： 任何元素都必须和自己等价。即，对于所有 a，a ~ a 必须成立。
- 对称的： 如果 a 等价于 b，那么 b 也必须等价于 a。即，如果 a ~ b，则 b ~ a。
- 传递的： 如果 a 等价于 b，并且 b 等价于 c，那么 a 必须等价于 c。即，如果 a ~ b 且 b ~ c，则 a ~ c。
这三条法则共同确保了这个“等价”是合乎情理的，并且由它划分出的每一个“等价类”内部都是和谐一致的。
现在，我们用这三大法则来严格检验两个有趣的关系。
关系一：(a,b) ~ (c,d) 当且仅当 a + b + c = d
检验自反性：(a,b) 必须和自己等价。即需 a + b + a = b？化简得 2a + b = b，即 2a = 0。这对于任意整数 a 显然不成立（除非a恒为0）。自反性不满足！结论： 这甚至不是一个及格的关系，它无法通过最基本的质量检测。
关系二：(a,b) ~ (c,d) 当且仅当 a + d = b * c
检验自反性： (a,b) 和自己等价，需 a + b = b * a？这要求 a + b = ab。这对于任意整数 a, b 绝不成立（比如 (1,2)：1+2=3, 1*2=2, 3≠2）。自反性不满足！结论： 同样是不及格的关系。
正是这三条看似简单的法则，将那些能用来“创世”（构建整数、有理数）的精密工具，与那些混乱、无意义的随意规则区分开来。现在，让我们怀着敬意，重新审视我们那两件成功的“创世工具”：
- 整数等价关系： (a,b) ~ (c,d) 当且仅当 a + d = b + c
- 有理数等价关系： (a,b) ~ (c,d) 当且仅当 a * d = b * c
如果我们用“三大法则”去检验它们，会发现它们完美地通过了每一条测试。正是这种逻辑上的坚固性，才使得它们能够承担起定义新数系的重任。
