2025.11.17 周作业 44 速通

A. CF2167E

简单题，二分，中间选连续段即可。

B. CF2167F

简单题，等价于判子树大小 \(\geq k\)，换根部分拆贡献即可。

C. CF2144D

简单题，调和级数秒了。

D. CF1791G2

简单题，二分排序贪心，但是要注意第一个只能从左边到达。

E. CF1788D

魔怔。
考虑拆贡献：计算有多少相向而行的箭头，就有多少连通块。
枚举 \(i,j\) 钦定它们相向而行，则 \(i\) 左侧、\(j\) 右侧可以选的分别是前后缀，这可以二分求出。
乘法原理即可。

F. CF2112E

啊呀看成所有单色连通块了骇死我力。
考虑给定树怎么求染色方案数：如果一个点不是绿色，则整个子树与它同色。
不难想到设 \(f_u\) 表示 \(u\) 子树染色且 \(u\) 是绿色的方案数，则 \(f_u = \prod\limits_{v \in son_u} (f_v + 2)\)，其中 \(+2\) 表示 \(v\) 子树全蓝或全黄。
倒过来，设 \(g_x\) 表示方案数为 \(x\) 最少要几个点。
手模发现 \(x\) 为偶数不存在，想想也是显然的，因为全绿只会被算一次。
观察样例 \(g_1 = 1, g_3 = 2, g_9 = 3\)，猜测 \(g_{3^k} = k+1\)，其实也是显然的（根下面连 \(k\) 个点）。

然后按照 \(f\) 的转移方程，有：\(g_x = \min\limits_{d | x} \{ g_{d-2} + g_{\frac{x}{d}} \}\)，于是做完了。

G. CF1406D

感觉严格简单于 EF 两题。
上来先做差分，然后按正负性分给 \(b,c\) 序列，注意到应该是 \(b\) 末尾和 \(c\) 开头的平均值。
然后挂了，原因是不需要考虑差分中最后一项 \(-a_n\)，改回来就对了。

H. ARC112C

哎这场的 E 怎么是 Union_Find。
感觉是极为困难（细节）的贪心构造。

但还是不难注意到子树奇偶性这件事：如果子树大小是奇数，出来之后先后手互换。
设 \(f_u\) 表示当前在 \(u\) 子树，先手能拿最多的金币数量（这个点金币还没拿）。
将子树分为三类：

1. 偶数，\(f_v \lt sz_v - f_v\)。
2. 偶数，\(f_v \geq sz_v - f_v\)。
3. 奇数。

那么先手第一步会拿走金币，后手选择去往哪个子树，则后手一定会选让先手获利最少的子树，即一类全部先走完。
接着后手一定不乐意走二类，所以他会先去走三类。
将三类按照 \(f_v - (sz_v-f_v)\) 即先后手收益差升序排序，看后手去哪能让自己收益最大化。
三类走完之后只剩下二类，不改变决策顺序，所以模拟即可。

I. CF1804E

很简单的题，但是实现比较抽象。
并不难想到找到一个环，使得它的邻域为全集。
\(n\) 很小，考虑找出一个集合 \(S\) 判断它是否能是一个环，钦定 lowbit 作为起点。
直接做是 \(O(2^n n^2)\) 的，但是考虑设 \(f_{S}\) 表示访问过 \(S\) 的集合，当前可以在的点集是什么。
那么转移就从这些点继续往外走一步，复杂度是 \(O(2^n n)\).

判断邻域是否为全集是简单的。
考虑如何给环定向，其实就是把之前的再做一遍，如果能往回走一步就走（显然有解）。

J. CF1879E

不难构造出按深度 \(3\) 种颜色交替排，这样显然可以唯一确定父亲颜色。
然后交上去 WA on test 4，分析一下原因大概是：可以只用两种颜色，并不严格按深度排。

hack: (father)
1 2 1 4 5 4 7

该样例可以对 (1, 2), (4, 5), (4, 7) 分别染成 \(1\)，剩下为 \(2\)。
只要保证 \(1\) 下每个子树还是按照深度排列的，对于儿子数 \(\gt 1\) 的就依然可以直接判断父亲是什么颜色（出现次数为 \(1\)）。
瓶颈在于儿子数为 \(1\) 的点。我们考虑都钦定这些点和它的父亲之间染成 \(1\)，再 bfs 看是否会矛盾即可。