20251117 - Manacher

前言

怎么又有 ABB 啊，连考三次，罚时吃饱了！

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Manacher，俗称马拉车，是一个可以线性的求出一个串的最长回文子串。

如何求解最长回文子串呢？ 马拉车

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方法零：

首先枚举字符串的左端点和右端点，在判断区间是否是回文串。

时间复杂度：\(O(n^3)\)

空间复杂度：\(O(n)\)

bool check(int l,int r){for(int i = l,j = r;i < j;i++,j--){if(s[i] != s[j]) return 0;}return 1;
}
for(int d = 1;d <= n;d++){ // 这是认真的吗？for(int i = 1;i + d - 1 <= n;i++){int j = i + d - 1;if(check(i,j)){ans = max(ans,j - i + 1);}}
}

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方法一：

枚举中间位置，再看看往两边扩充最大能到多少。

for(int i = 1;i <= n;i++){int l,r;l = r = i;while(l >= 1 && r <= n && s[l] == s[r]) l--,r++;ans = max(ans,r - l + 1);
}

方法二：

通过打表严禁证明，可以发现，方法一是具有单调性的（长度），所以，就可以二分来搞。

还要用哈希来搞！

方法四：Manacher

方法三慢在扩充的过程，Manacher 就像 KMP 一样，根据已知的条件来得到最终答案。

如果回文的中心点不在上一个回文区间，那么就没有回文串与之匹配。

否则和对称的另一端和边界求一个 \(\min\)。（抄过来）

再暴力扩充即可！

void init(){s = tmp + 1;for(auto v : s){t += '$';t += v;}t = '_' + t + '$';n_ = t.size() - 1;d.resize(n_ + 2);
}
for(int mid = 1,l = 1,r = -1;mid <= n_;mid++){int len;if(mid > r){len = 1;}else{len = min(d[l+r-mid],r-mid+1);}while(mid - len >= 1 && mid + len <= n_ && t[mid-len] == t[mid+len]){len++;}d[mid] = len;if(mid + len - 1 > r){r = mid + len - 1;l = mid - len + 1;}}

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例题： 拉拉队排练

首先看看 \(K\) 的范围：\(10^{12}\)，如果跟 \(K\) 有关的，一定要是 \(\le log_k\)。

回文子串，马拉车！

在马拉车时记录，在快速幂一下就好了！

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;
#define ll long long
const int N = 2e6 + 7;
const int P = 19930726;
const int inf = (1 << 30);
template<class T> void read(T &x){x = 0;int f = 1;char ch = getchar();while(!(ch >= '0' && ch <= '9')){if(ch == '-') f = -f;ch = getchar();}while(ch >= '0' && ch <= '9'){x = x * 10 + ch - '0';ch = getchar();}x *= f;
}
int n,n_,cnt[N];
ll k,ans = 1;
char tmp[N];
string s,t;
vector<int>d;
void init(){s = tmp + 1;for(auto v : s){t += '$';t += v;}t = '_' + t + '$';n_ = t.size() - 1;d.resize(n_ + 2);
}
int mcp(int x){return (int)ceil(x / 2.0) * 2 - 1;
}
ll ksm(ll a,ll b,ll mod){a %= mod;ll res = 1;while(b){if(b & 1){res *= a;res %= mod;}a *= a;a %= mod;b >>= 1;}return res;
}
int main(){read(n),read(k);scanf("%s",tmp+1);init();for(int mid = 1,l = 1,r = -1;mid <= n_;mid++){// 暴力扩充时会记录答案了！if(mid & 1) continue;int len;if(mid > r){len = 1;}else{len = min(d[l+r-mid],r-mid+1);}while(mid - len >= 1 && mid + len <= n_ && t[mid-len] == t[mid+len]){// cnt[mcp(len)]++;len++;}d[mid] = len;if(mid + len - 1 > r){r = mid + len - 1;l = mid - len + 1;}if(mcp(len) % 2) cnt[mcp(len)]++;}ll sum = 0;for(int i = n;i >= 1;i--){if(!(i & 1)) continue;sum += cnt[i];if(sum <= k){ans = (ans * ksm(i,sum,P)) % P;k -= sum;}else{ans = (ans * ksm(i,k,P)) % P;k -= sum;break;}}// for(int i = 1;i <= n;i++)// printf("%d %d\n",i,cnt[i]);if(k > 0) ans = -1;printf("%lld\n",ans);return 0;
}

后记

马拉车非常实用，一定要搞懂他！