浅谈 FHQ-Treap

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什么是 FHQ-Treap？

平衡树上存放两个信息，权值 \(val\) 以及随机索引 \(key\)。值满足二叉搜索树性质，随机值索引满足堆的性质，通过结合二叉搜索树和二叉堆的性质来使树平衡。至于这里用的是大根堆还是小根堆，不重要。

当权值 \(val\) 的数值情况不可控时，如果保证索引 \(key\) 为随机，树的期望深度为 \(\log n\)。

通常的平衡树维护平衡的方法是旋转，而 FHQ-Treap 则是用分裂和合并来实现的。

详解 FHQ-Treap

FHQ-Treap 存放的节点信息

首先，有必不可少的权值 \(val\) 和随即索引 \(key\)。其次为了维护树的结构，肯定要有左节点编号 \(ls\) 以及右节点编号 \(rs\)。当然，为了求排名之类的东西，我们还会维护一个子树大小 \(sz\)。由于要维护的信息较多，这里采用结构体进行维护。

struct FHQ_Trp{int ls,rs,val,key,sz;}tree[N];

FHQ-Treap 的分裂操作

分裂，即 Split，是 FHQ-Treap 中必不可少的一环。

分裂方法有两种：

1. 按值分裂：把树拆成两棵树，拆出来的一棵树的值全部小于等于给定的值，另外一棵树的值全部大于给定的值。
2. 按大小分裂：把树拆成两棵树，拆出来的一棵树的值全部等于给定的大小，剩余部分在另外一颗树里。

通常来说，当 FHQ-Treap 作为正常平衡树使用时，采用按值分裂；维护区间信息时，用按大小分裂。