题意：给出 \(k,n\)，问第 \(n\) 个是 \(10^k-1\) 的倍数的且每个数字不含有 \(9\) 的数是多少。\(k\le 18,n\le 10^{18}\)。
做法：
首先先跳出一个很显然的想法，一开始看这个东西觉得应该是拆成 \(x10^k-x\) 去讨论，但是显然有点完蛋。所以考虑去对 \(x(10^k-1)\) 直接枚举去计算。
我们猜答案位数不会太大，取大概 \(20+\) 位即可。
那么现在考虑类似数位 dp，每次枚举还没确定的最高位是多少然后去看有多少个数满足。因为是 \(10^k-1\) 的倍数的条件是 \(k\) 位一段，段和加起来是其倍数，所以我们考虑直接把 \(\bmod k\) 相等的位全部加在一起，也就是把 \(10^x\) 的位权变成 \(10^{x\bmod k}\)。但是有个比较麻烦的是我们需要同时在十进制和 \(10^k-1\) 的倍数这个限制考虑，因为答案位数不大，所以其实我们可以直接枚举加和是多少倍的 \(10^k-1\)，我们就可以求出来我们最后需要每个十进制位上是多少。
然后考虑 dp，从低位往高位 dp，\(dp_{i,j}\) 代表考虑到了第 \(i\) 位，目前被进了 \(j\) 位到第 \(i\) 位上。因为我们确定了总位数，所以可以知道有多少个数会贡献在 \(i\) 这一位，转移直接枚举他们的总和，再计算进位个数就可以转移，记得需要满足我枚举的数的十进制位要求。注意到这个东西和是第多少位没啥关系，所以我们可以提前处理出来 \(f_{i,j}\) 代表 \(i\) 个 \([0,8]\) 的数和为 \(j\) 的方案数。
然后就做完了，感觉这个题的唯一脑筋急转弯在于枚举 \(x\times (10^k-1)\)。
输出就是做一个高精除就可以了。
代码实现上，我 dp 为了方便用的是记忆化写法，记得多开点 __int128，这个题到处都会爆 long long。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int maxn = 55, B = 20;
__int128 dp[maxn][maxn * maxn];
int n, k, t, a[maxn];
__int128 f[maxn][maxn * maxn], all, tc;
int lim[maxn * maxn], vis[maxn][maxn * maxn], ad[maxn * maxn], to[maxn * maxn], ed;
__int128 cal(int x, int add) {if(x >= ed)return (add == 0);if(vis[x][add])return f[x][add];vis[x][add] = 1, f[x][add] = 0;for (int i = (to[x] - (ad[x] + add) % 10 + 10) % 10; i + ad[x] + add <= 54 * 8; i += 10)if(dp[lim[x]][i])f[x][add] = (f[x][add] + cal(x + 1, (i + ad[x] + add) / 10) * dp[lim[x]][i]);
// if(ed == 2 && a[3] == 1)
// cout << x << " zcmvsabviwqu" << add + ad[x] << " " << (int)f[x][add] << endl;return f[x][add];
}
void solve(int x) {all = 0;for (__int128 nw = 1; nw <= ((B) / k + 2); nw++) {ed = 0;__int128 tmp = nw * tc;while(tmp) {to[ed++] = tmp % 10;tmp /= 10;}for (int i = 0; i < k; i++)lim[i] = 0, ad[i] = 0;for (int i = 0; i < (B / k + 2) * k; i++)lim[i % k]++;for (int i = (B / k + 2) * k - 1; i >= x; i--) {lim[i % k]--;// if(nw <= 2)// cout << i << " " << (int)(all) << endl;ad[i % k] += a[i];}
// cout << (int)(all) << " " << (int)nw << endl;memset(vis, 0, sizeof(vis));all += cal(0, 0);}
}
void write(__int128 x) {if(x <= 9) {putchar(x + '0');return ;}write(x / 10);putchar(x % 10 + '0');
}
signed main() {cin >> k >> n;dp[0][0] = 1;for (int i = 1; i <= 54; i++)for (int j = 0; j <= 8; j++)for (int k = j; k <= i * 8; k++)dp[i][k] = (dp[i][k] + dp[i - 1][k - j]);
// for (int i = 3; i <= 3; i++)
// for (int j = 0; j <= 9; j++)
// cout << i << " " << j << " " << (int)dp[i][j] << endl;tc = 1;for (int i = 1; i <= k; i++)tc = tc * 10;tc--;
// cout << (int)dp[23][0] << endl;for (int i = (B / k + 2) * k - 1; i >= 0; i--) {while(1) {solve(i);// cout << a[i] << " " << (int)all << endl;if(all >= n)break;n -= all;a[i]++;}}__int128 s = 0;for (int i = (B / k + 2) * k - 1, nw = 0; i >= 0; i--) {s = s * 10 + a[i];if(s >= tc)nw = 1;if(nw || s >= tc)cout << (int)(s / tc);s %= tc;}return 0;
}
)
