2025.10.27训练记录

其实是10.28晚上写的。感觉就这个题要记录一下。
上午noip模拟。喜提一道不会。

B

题外话：
7:45 开始考试，广附集训爷大吼一声我做过！声称A完全不可做，但B他场切了。于是我开场看B。
那就看B，7:50闭了一下眼睛，睁开的时候已经9:30了。

9:30开始看B，发现是排列数问题。
好像已经有段时间没有做出来任何排列数问题了。
原因大概是：我觉得排列上的dp比较难以考虑。那我能套的方法少了一大半。
为什么排列上dp我一点都不会呢？感觉对排列计数的话全是后效性不知道怎么设状态。
那就先不考虑dp。将我会的计数套路一个个往里套。
大失败！

挺久没有遇到这种一点思路都出不来的题了。

赛后看题解发现确实没有归到常规的计数套路中。又花了很长时间理解正解。

嗯，那就写一下我的理解。
首先拿到这题的时候就考虑推一推性质。想一想题意给的 \(ax + by\) 能够得出什么。
当 \(a_1 x + b_1y < a_2 x + b_2 y\)时，有：
\((a_1 - a_2) x < (b_2 - b_1) y\)。
先不考虑小于等于0的取值问题再推一步，有：

\(\frac{a_1 - a_2}{b_2 - b_1} < \frac{y}{x}\)

于是我们发现，\((i, j)\) 这两个数对的大小关系，可以由 \(\frac{a_i - a_j}{b_j - b_i}\) 这个比值和 \(\frac{y}{x}\) 的大小关系决定。
这个还是好推的，属于题意范畴。

然后就是非常难想的第一步。
由于 \(x\)、\(y\) 的值在 \((0, \inf)\)任取，于是考虑在 \(\frac{y}{x}\) 从趋近于 \(0\) 变化到正无穷时，排列发生的变化。
在\(\frac{y}{x}\)趋近于 \(0\) 时，就相当于以 \(a\) 为第一关键字，\(b\) 为第二关键字排序。由于没有重复的数对，所以这个顺序是唯一确定的。

现在你有了一个初始的顺序，考虑什么时候这个顺序会发生变化。
结合上面那个比值的关系，可以发现，\((i, j)\) 这两个数对的大小关系在 \(\frac{y}{x}\) 等于 \(\frac{a_i - a_j}{b_j - b_i}\) 的前后发生变化。
所以我们枚举每个 \((i, j)\)，将 \(\frac{a_i - a_j}{b_j - b_i}\) 离散化保存，作为 \(\frac{y}{x}\) 变化过程中的「分界点」。
那么直观地来说，排列的方案数就是「分界点数量 \(+1\)」。
但是本题需要考虑题目中提到的「如果多个对象的加权值相同，它们之间的相对顺序可以任意」。

对应到我们抽象出的这个模型中就是说，在\(\frac{y}{x}\)取到每个分界点的时候，一部分位置是可以乱排的。
我们仔细地来考虑：在取到每个分界点时，具体是哪些位置可以乱排。
还是考虑我们推出的那个比值式子，两个位置在此时可以交换，代表着\(a_i x + b_iy = a_j x + b_j y\)。
那么就是\(\frac{a_i - a_j}{b_j - b_i} = \frac{y}{x}\)。
即对于每个分界点，当对 \((i, j)\) 的比值刚好等于这个分界点的值时，\((i, j)\) 这两个位置可以交换。
实现上，我们枚举离散化后的每个分界点，全局上维护一个并查集，对于每个比值等于这个分界点的对 \((i, j)\)，将 \(i\)、\(j\) 加入同一个集合。
那么在分界点时的排列方案就是每个连通块的 \(\prod siz_i\)。
然后注意到两个分界点中间的那个排列方案会被计算两次。
所以最终的答案就是 \((\sum (\prod siz_i - 1)) + 1\)。

很聪明吧。
很聪明吗？
做完之后考虑这题的方法如何沿用。
首先是对于排列计数的问题。有时候可以考虑顺序在何时变化，对于这个变化去计数。
也许这是对于排列计数的一种方法，而现在我很缺乏类似的计数技巧。
这题的转化感觉其实挺复杂的，先把数对挂到时间轴上，再一个个拍回去统计数量。
可能我写的有些神神叨叨了。

据同学声称，他场切这道题的时候很顺地就做下来了。
这种顺着下去想的能力如何锻炼，感觉完全没有道理。