数列极限入门习题

数列极限入门习题 
 lim ⁡ n → ∞ ( 1 + 1 2 + 1 3 + ⋯ + 1 n ) 1 n \lim\limits_{n\rightarrow\infty}(1 + \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n})^{\frac{1}{n}} n→∞lim​(1+21​+31​+⋯+n1​)n1​
 lim ⁡ n → ∞ ( 1 n + 1 + 1 n + 2 + ⋯ + 1 n + n ) \lim\limits_{n\rightarrow\infty}(\frac{1}{n+\sqrt{1}}+\frac{1}{n+\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{n+\sqrt{n}}) n→∞lim​(n+1   ​1​+n+2   ​1​+⋯+n+n   ​1​)
 lim ⁡ n → ∞ ∑ k = n 2 ( n + 1 ) 2 1 k \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sum\limits_{k = n^2}^{(n + 1)^2}\frac{1}{\sqrt{k}} n→∞lim​k=n2∑(n+1)2​k   ​1​
 lim ⁡ n → ∞ 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ⋯ ⋅ ( 2 n − 1 ) 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ ⋯ ⋅ ( 2 n ) \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1\cdot3\cdot5\cdot\cdots\cdot(2n - 1)}{2\cdot4\cdot6\cdot\cdots\cdot(2n)} n→∞lim​2⋅4⋅6⋅⋯⋅(2n)1⋅3⋅5⋅⋯⋅(2n−1)​
 lim ⁡ n → ∞ 3 n 2 + 4 n − 1 n 2 + 1 \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{3n^2 + 4n - 1}{n^2 + 1} n→∞lim​n2+13n2+4n−1​
 lim ⁡ n → ∞ n 3 + 2 n 2 − 3 n + 1 2 n 3 − n + 3 \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{n^3 + 2n^2 - 3n + 1}{2n^3 - n + 3} n→∞lim​2n3−n+3n3+2n2−3n+1​
 lim ⁡ n → ∞ 3 n + n 3 3 n + 1 + ( n + 1 ) 3 \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{3^n + n^3}{3^{n + 1}+(n + 1)^3} n→∞lim​3n+1+(n+1)33n+n3​
 lim ⁡ n → ∞ ( n 2 + 1 n − 1 ) sin ⁡ n π 2 \lim\limits_{n\rightarrow\infty}(\sqrt[n]{n^2 + 1}-1)\sin\frac{n\pi}{2} n→∞lim​(nn2+1   ​−1)sin2nπ​
 lim ⁡ n → ∞ n ( n + 1 − n ) \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt{n}(\sqrt{n + 1}-\sqrt{n}) n→∞lim​n   ​(n+1   ​−n   ​)
 lim ⁡ n → ∞ n ( n 2 + 1 4 − n + 1 ) \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt{n}(\sqrt[4]{n^2 + 1}-\sqrt{n + 1}) n→∞lim​n   ​(4n2+1   ​−n+1   ​)
 lim ⁡ n → ∞ 1 n ! n \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{\frac{1}{n!}} n→∞lim​nn!1​   ​
 lim ⁡ n → ∞ ( 1 − 1 2 2 ) ( 1 − 1 3 2 ) ⋯ ( 1 − 1 n 2 ) \lim\limits_{n\rightarrow\infty}(1-\frac{1}{2^2})(1-\frac{1}{3^2})\cdots(1-\frac{1}{n^2}) n→∞lim​(1−221​)(1−321​)⋯(1−n21​)
 lim ⁡ n → ∞ n lg ⁡ n n \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{n\lg n} n→∞lim​nnlgn   ​
 lim ⁡ n → ∞ ( 1 2 + 3 2 2 + ⋯ + 2 n − 1 2 n ) \lim\limits_{n\rightarrow\infty}(\frac{1}{2}+\frac{3}{2^2}+\cdots+\frac{2n - 1}{2^n}) n→∞lim​(21​+223​+⋯+2n2n−1​)
已知 lim ⁡ n → ∞ a n = a \lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a n→∞lim​an​=a， lim ⁡ n → ∞ b n = b \lim\limits_{n\rightarrow\infty}b_{n}=b n→∞lim​bn​=b，证明：
  lim ⁡ n → ∞ a 1 b n + a 2 b n − 1 + ⋯ + a n b 1 n = a b \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{1}b_{n}+a_{2}b_{n - 1}+\cdots+a_{n}b_{1}}{n}=ab n→∞lim​na1​bn​+a2​bn−1​+⋯+an​b1​​=ab