算法基础 -- 字符串哈希的基本概念和数学原理分析

字符串哈希的基本概念和数学原理分析

1. 字符串哈希的定义和基本概念

哈希函数的定义

哈希函数（Hash Function）是一种将任意长度的输入映射为固定长度输出的函数。对于字符串而言，哈希函数通过某种算法将字符串转换成一个整数，该整数称为哈希值。良好的哈希函数通常具有以下特性：

确定性（Deterministic）：相同的输入必须产生相同的哈希值。
均匀分布（Uniformity）：不同输入的哈希值应尽可能均匀分布，避免哈希冲突（不同输入产生相同哈希值）。

字符串哈希的作用

将字符串转换为哈希值，可以显著提升字符串比较和查找的效率。例如，在字符串匹配算法 Rabin-Karp 中，哈希值可以用于快速筛选可能匹配的位置，从而减少逐字符比较的次数。

哈希冲突及其处理

由于哈希函数将庞大的输入空间映射到有限的输出空间，不可避免地会发生哈希冲突（Collision）。即，可能存在 Hash(S) = Hash(T)，但 S ≠ T。

解决哈希冲突的方法：

数据结构层面（哈希表）：
- 开链法：使用链表存储冲突元素。
- 开放地址法：在哈希冲突时寻找下一个可用槽位（线性探测、二次探测、双重哈希）。
字符串算法层面：
- 双哈希（Double Hashing）：使用两个不同的哈希函数，只有两个哈希值都相等时才认为字符串相等。
- 增大哈希空间：选取更大的模数 $M$ 以减少冲突概率。
- 最终验证：在哈希值相等时进行字符串逐字符比对。

2. 字符串哈希的数学原理

多项式哈希（Polynomial Hashing）

字符串哈希常用的方法之一是多项式哈希，其基本思想是将字符串视为某个进制的数，并进行模运算。形式化定义如下：

$\big( s_1 \times B^{n-1} + s_2 \times B^{n-2} + \dots + s_n \times B^0 \big) \bmod M \,.$

其中：

$s_i$ ：第 $i$ 个字符的数值（如 ASCII 编码）。
$B$ ：基数（通常选 31、131、13331 等）。
$M$ ：模数（通常选大质数，如 $10^9+7$ ）。

示例：
对于字符串 "abcde"，假设 a=1, b=2, ..., e=5，且 $B = 31$ ，则：
$\times 31^4 + 2 \times 31^3 + 3 \times 31^2 + 4 \times 31^1 + 5 \times 31^0) \bmod M.$

基数 $B$ 和模数 $M$ 的选择

模数 $M$ ：
- 应选大质数，以减少哈希冲突，如 $10^9+7$ 。
- 也可选 $2^{64}$ 直接利用整数溢出（非质数）。
基数 $B$ ：
- 通常选取比字符集大小更大的质数，如 31、131、13331。
- 选质数可减少哈希值模式性，提高均匀分布性。

滚动哈希（Rolling Hash）

滚动哈希是一种在 $O (1)$ 时间计算滑动窗口子串哈希的方法，推导如下：

设 $H (i)$ 表示 S[i:i+m-1] 的哈希值：
$(s_i \times B^{m-1} + s_{i+1} \times B^{m-2} + \dots + s_{i+m-1} \times B^0) \bmod M.$

计算 $H (i + 1)$ 时，可由 $H (i)$ 推导：
$\Big( H(i) \times B - s_i \times B^m + s_{i+m} \Big) \bmod M.$

该方法避免了重新计算每个子串的哈希值，大幅提升效率。

3. 字符串哈希的常见算法

Rabin-Karp 算法

Rabin-Karp 通过滑动窗口 + 哈希匹配实现高效字符串查找：

计算模式串 $P$ 的哈希值 $H (P)$ 。
在文本串中滑动窗口计算每个子串哈希值 $H_T(i)$ 。
若 $H_T(i) = H(P)$ ，则进一步验证字符串是否完全匹配。

时间复杂度分析

朴素匹配算法： $O (nm)$
Rabin-Karp：
- 预处理模式串： $O (m)$
- 计算 $n - m + 1$ 个子串哈希： $O (n)$
- 平均复杂度 $O (n + m)$ ，最坏情况下（哈希冲突过多） $O (nm)$ 。

4. 字符串哈希的时间与空间复杂度

操作	朴素方法	哈希方法
单次字符串比较	$O (n)$	$O (1)$
查找子串	$O (nm)$	$O (n + m)$ （Rabin-Karp）
哈希计算	$O (n)$	$O (n)$
滚动哈希更新	$O (nm)$	$O (n)$
哈希表查找	$O (n)$	$O (1)$ （均摊）