01背包、完全背包、多重背包

参考（都有些错误）：
https://github.com/guanjunjian/Interview-Summary/blob/master/notes/algorithms/%E7%BB%8F%E5%85%B8%E7%AE%97%E6%B3%95/01%E8%83%8C%E5%8C%85.md
https://blog.csdn.net/na_beginning/article/details/62884939

 

#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include <string>using namespace std;/*
01背包问题 每个物品仅一个
状态转移公式:F[i][j] = F[i - 1][j] 和 F[i - 1][j - W[i]] + V[i] 大的那个值
C背包总重量
W每个物品重量
V每个物品价值
n物品总数
inp具有最大价值时，标记哪个物品在包中
返回最大价值
*/
int packages(int C, vector<int> &W, vector<int> &V, int n, vector<int> &inp)
{vector<vector<int> > F(n, vector<int>(C + 1));//F[i][j]记录背包可用重量为j时，前i个物品的最大价值for (int i = 0; i < n; i++)//初始化表格
    {for (int j = 0; j < F[0].size(); j++)F[i][j] = 0;}for (int j = 1; j < F[0].size(); j++)//初始化第一行F[0][j] = (j < W[0]) ? 0 : V[0];//可用重量j大于物品重量，则装入该物品，加上该物品价值for (int i = 1; i < n; i++){for (int j = 1; j < F[0].size(); j++){if (j < W[i])F[i][j] = F[i - 1][j];//装不下该物品elseF[i][j] = (F[i - 1][j] < F[i - 1][j - W[i]] + V[i]) ? F[i - 1][j - W[i]] + V[i] : F[i - 1][j];//可装下该物品。状态转移方程
        }}int result = F[n - 1][F[0].size() - 1];//最大价值//inp标记哪些物品在包中int j = C;for (int i = n-1; i >0 ; i--)//i不可为0，否则F[i-1]越界
    {if (j>W[i] && F[i][j] == F[i - 1][j - W[i]] + V[i])//注意需要j>W[i]
        {inp[i] = 1;j -= W[i];}}if (F[0][j] > 0)//如果背包还可装下，则包含第一个物品inp[0] = 1;//输出动态规划数组for (int i = 0; i < n; i++){for (int j = 0; j < F[0].size(); j++)cout << F[i][j] << " ";cout << endl;}return result;
}/*
01背包问题 滚动数组优化动态规划的空间
原空间OnC，先空间O2C，但是无法输出有哪些物品在包中
*/
int packages_good(int C, vector<int> &W, vector<int> &V, int n)
{vector<vector<int> > F(2, vector<int>(C + 1));//F[i][j]记录背包可用重量为j时，前i个物品的最大价值for (int i = 0; i < 2; i++)//初始化表格
    {for (int j = 0; j < F[0].size(); j++)F[i][j] = 0;}for (int j = 1; j < F[0].size(); j++)//初始化第一行F[0][j] = (j < W[0]) ? 0 : V[0];//可用重量j大于物品重量，则装入该物品，加上该物品价值int k = 0;for (int i = 1; i < n; i++){k = i & 1;//滚动for (int j = 1; j < F[0].size(); j++){if (j < W[i])F[k][j] = F[k ^ 1][j];//装不下该物品elseF[k][j] = (F[k ^ 1][j] < F[k ^ 1][j - W[i]] + V[i]) ? F[k ^ 1][j - W[i]] + V[i] : F[k ^ 1][j];//可装下该物品
        }}return F[k][F[0].size() - 1];//最大价值
}/*
完全背包 每个物品不限制数量
状态转移公式:F[i][j] = F[i - 1][j] 和 F[i][j - W[i]] + V[i] 大的那个值，标记哪些物品在包中也改变
注意是F[i][j - W[i]] + V[i]
也可优化空间
*/
int packages_full(int C, vector<int> &W, vector<int> &V, int n, vector<int> &inp)
{vector<vector<int> > F(n, vector<int>(C + 1));//F[i][j]记录背包可用重量为j时，前i个物品的最大价值for (int i = 0; i < n; i++)//初始化表格
    {for (int j = 0; j < F[0].size(); j++)F[i][j] = 0;}for (int j = 1; j < F[0].size(); j++)//初始化第一行F[0][j] = (j < W[0]) ? 0 : ((j/W[0])*V[0]);//每个物品不止一个for (int i = 1; i < n; i++){for (int j = 1; j < F[0].size(); j++){if (j < W[i])F[i][j] = F[i - 1][j];//装不下该物品elseF[i][j] = (F[i - 1][j] < F[i][j - W[i]] + V[i]) ? F[i][j - W[i]] + V[i] : F[i - 1][j];//可装下该物品。状态转移方程
        }}int result = F[n - 1][F[0].size() - 1];//最大价值//inp标记哪些物品在包中int j = C;int i = n - 1;while (i){while(j && j > W[i] && F[i][j] == F[i][j - W[i]] + V[i]) //如果包含该物品，则一直循环看包含几个该物品
        {inp[i]++;j -= W[i];}i--;//不包含该物品，则跳到下一个物品
    }//输出动态规划数组for (int i = 0; i < n; i++){for (int j = 0; j < F[0].size(); j++)cout << F[i][j] << " ";cout << endl;}return result;
}/*
多重背包 每个物品有数量限制
*/
int packages_multi(int C, vector<int> &W, vector<int> &V, int n, vector<int> &inp, vector<int> &N)//N会被修改
{vector<vector<int> > F(n, vector<int>(C + 1));//F[i][j]记录背包可用重量为j时，前i个物品的最大价值for (int i = 0; i < n; i++)//初始化表格
    {for (int j = 0; j < F[0].size(); j++)F[i][j] = 0;}for (int j = 1; j < F[0].size(); j++)//初始化第一行,每个物品有对应数量N限制
    {int count = (N[0] > j / W[0]) ? j / W[0] : N[0];//可用空间为j时，可以放多少个当前物品，min{可放入数量,物品数量}F[0][j] = (j < W[0]) ? 0 : (count*V[0]);}for (int i = 1; i < n; i++){for (int j = 1; j < F[0].size(); j++){if (j < W[i])F[i][j] = F[i - 1][j];//装不下该物品else{int count = (N[i] > j / W[i]) ? j / W[i] : N[i];F[i][j] = F[i - 1][j];//不放当前物品for (int k = 1; k <= count; k++)//看放入多少个当前物品可以让F[i][j]最大
                {int tmp = F[i - 1][j - k * W[i]] + k * V[i];//放入k个当前物品if (tmp > F[i][j])F[i][j] = tmp;}}}}int result = F[n - 1][F[0].size() - 1];//最大价值cout << result << endl;//inp标记哪些物品在包中int j = C;int i = n - 1;while (i){while (j && N[i] && j > W[i] && F[i][j] == F[i][j - W[i]] + V[i]) //如果包含该物品，则一直循环看包含几个该物品
        {inp[i]++;j -= W[i];--N[i];}i--;//不包含该物品，则跳到下一个物品
    }//输出动态规划数组for (int i = 0; i < n; i++){for (int j = 0; j < F[0].size(); j++)cout << F[i][j] << " ";cout << endl;}return result;
}int main() {vector<int> W{ 4,5,6,2,2 };vector<int> V{ 6,4,5,3,6 };int C = 9;int n = W.size();vector<int> inp(n, 0);//标记是否在包中cout << "1、01背包最大总价值：" << packages(C, W, V, n, inp) << endl;cout << "在背包中的物品编号： ";for (int i = 0; i < inp.size(); i++){if (inp[i] == 1)cout << i << " ";}cout << endl;cout << "2、01背包滚动数组优化最大总价值，无法输出有哪些物品在背包中：" << packages_good(C, W, V, n) << endl;cout << endl;vector<int> inp1(n, 0);//标记是否在包中cout << "3、完全背包最大总价值：" << packages_full(C, W, V, n, inp1) << endl;cout << "输出在背包中物品： ";for (int i = 0; i < inp1.size(); i++){cout << inp1[i] << " ";}cout << endl;cout << endl;vector<int> N{ 1,2,2,2,4 };//每个物品数量vector<int> inp2(n, 0);//标记是否在包中cout << "4、多重背包最大总价值：" << packages_multi(C, W, V, n, inp2, N) << endl;cout << "输出在背包中物品： ";for (int i = 0; i < inp2.size(); i++){cout << inp2[i] << " ";}cout << endl;return 0;
}