正睿 2025 NOIP 20连测 Day10

T1

泠珞捡到了 \(10^{18}\) 块具有不同美观度的宝石, 美观度分别为 \(1, 2, 3, 4, \dots\)
她打算选出一些宝石串成手串, 但是不同的宝石搭配起来可能不一定好看。具体来说如果两块宝石的美观度分别是 \(i, j (i \neq j)\), 并且 \(i + j\) 是 2 的整次幂, 那么泠珞就认为这两块宝石搭配起来不好看, 就不会把它们一起串到手串里。
但是泠珞不知道怎样的搭配才是最好的, 于是她提出了 \(n\) 种方案, 第 \(i\) 种方案只使用美观度在 \([l_i, l_i + m_i - 1]\) 内的宝石, 你需要帮她计算出仅使用这些宝石, 在满足任意两块宝石搭配起来好看的前提下, 组成的手串最多能包含多少块宝石? 每一组方案之间是独立的。

考虑肯定从最右端开始选是最优的，因为他们只会使得 1 个宝石用不了。所以每次从 \(r\) 选到最接近 \(r\) 的 \(2^k\) 即可，然后递归求解。

int safelg(int x) {if (x == 1) return 0;else return __lg(x);
}int calc(int l, int r) {if (r < l) return 0;assert(l <= r);if (r == 1) return 1;if (safelg(l) == safelg(r)) {return (r - l + 1);}if (safelg(l) + 1 == safelg(r)) {int k = safelg(r);return max(r - (1ll << k) + 1, (1ll << k) - l + 1);}int k = safelg(r);return calc(l, (1ll << k) - (r - (1ll << k)) - 1) + (r - (1ll << k) + 1);
}void work() {int l, m; cin >> l >> m;int r = l + m - 1;cout << calc(l, r) << endl;
}

T2

冷珞曾经在纸上写下了一串数字，排成了序列 \(a_1, a_2 \sim a_n\)，她要把这串数字传递给零羽。处于保密性，冷珞没有直接把序列告诉零羽，而是进行了一些加密：

• 具体来说，她写下了一个 \(n \times n\) 的矩阵 \(A\)，其中 \(A_{i,j} = a_i \oplus a_j \oplus X\) 或者 \(a_i \oplus a_j \oplus Y\)，其中 \(X, Y\) 是提前选好的两个常数。

接着她把矩阵 \(A\) 以及 \(X, Y\) 都告诉了零羽，并且为了方便零羽解密她把原来的序列 \(a\) 插入了 \(m - n\) 个新的数字后又任意重排得到了长度为 \(m\) 的序列 \(b\)，并把序列 \(b\) 也告诉了零羽。

可是零羽依旧发现有很多符合条件的序列 \(a\)，因此请你帮她求出有多少种不同的可能的初始序列 \(a\)。由于答案可能很大，你只需要输出答案对 \(1000000007\) 取模的结果。

注意，由于传输时的噪声等原因，有可能是 \(A\) 矩阵以及 \(b\) 序列都不合法，即答案为 \(0\)。

这个题比较神。

考虑其实如果没有冲突的话，第一行的信息其实就已经足够了，所以先判一下有没有冲突。因为 \(A_{i,j}=a_i\oplus a_j \oplus (X/Y)=A_{1,i}\oplus A_{1,j}\oplus(0/X\oplus Y)\)，所以如果 \(A_{i,j}\not\in\{A_{1,i}\oplus A_{1,j},\;A_{1,i}\oplus A_{1,j}\oplus X\oplus Y\}\) 的话，则说明冲突了，直接输出 \(0\)。

接下来，我们考虑枚举 \(a_1\)，则 \(a_i=A_{1,i}\oplus a_1\oplus (X/Y)\)，然后我们发现，我们可以通过无序对 \((A_{1,i}\oplus X, A_{1,i}\oplus Y)\) 将所有 \(A_{1,i}\) 分出若干类。不在同一类的 \(A_{1,i}\) 的对应的可能的 \(a_i\) 一定没有交，即不同类之间的方案数是独立的。

现在我们考虑怎么对一类无序对算贡献。假设这一类一共有 \(t\) 个 \(A_{1,i}\)。则我们枚举我们选 \(i\) 个让他异或 \(X\)，\(t-i\) 个让他异或 \(Y\)。不妨设这一类异或 \(X\) 后得到的数为 \(kx\)，异或 \(Y\) 后得到的数为 \(ky\)。要满足 \(i\le cnt_{kx}, t-i\le cnt_{ky}\)，方案数即为 \(\sum_{i1} {t\choose i}\)。

注意有一个小坑，\(A_{1,1}\) 异或 \(X\) 还是 \(Y\) 是已经确定的，所以要特判一下。

只需要枚举在 \(b\) 中出现的数即可，最后时间复杂度 \(O(nm)\)。

const int MAXN = 2005, mod = 1e9 + 7;
int n, m, X, Y, A[MAXN][MAXN], b[MAXN], fac[MAXN], ifac[MAXN];
map<pair<int, int>, int> cnt;
unordered_map<int, int> bcnt;int quickpow(int a, int b) {int ret = 1;while (b) {if (b & 1) ret = ret * a % mod;a = a * a % mod; b >>= 1;}return ret;
}pair<int, int> build(int x, int y) {if (x > y) swap(x, y);return make_pair(x, y);
}int C(int x, int y) {return fac[x] * ifac[y] % mod * ifac[x - y] % mod;
}void work() {cin >> n >> m >> X >> Y;for (int i = 1; i <= m; ++i)cin >> b[i];for (int i = 1; i <= m; ++i)bcnt[b[i]]++;fac[0] = 1;for (int i = 1; i <= m; ++i) {fac[i] = fac[i - 1] * i % mod;}ifac[m] = quickpow(fac[m], mod - 2);for (int i = m - 1; i >= 0; --i) {ifac[i] = ifac[i + 1] * (i + 1) % mod;}for (int i = 1; i <= n; ++i) {for (int j = 1; j <= n; ++j) {cin >> A[i][j];}} for (int i = 2; i <= n; ++i) {for (int j = 1; j <= n; ++j) {if (A[i][j] != (A[1][j] ^ A[1][i] ^ X) && A[i][j] != (A[1][i] ^ A[1][j] ^ Y)) {cout << 0 << endl;return;}}}for (int i = 1; i <= n; ++i) {cnt[build(A[1][i] ^ X, A[1][i] ^ Y)]++;}auto f = build(A[1][1] ^ X, A[1][1] ^ Y);int ans = 0, M = *max_element(b + 1, b + 1 + m);for (int i = 0; i <= M; ++i) {if (bcnt[i] == 0) continue;int k = 1, a1 = i;bcnt[a1]--;assert(bcnt[a1] >= 0);for (auto [p, t]:cnt) {if (f == p) {if (t == 1) continue;t--;}assert(t > 0);int x = p.first ^ a1, y = p.second ^ a1;if (x == y) {if (bcnt[x] < t) { k = 0; }continue;}int l = max(0ll, t - bcnt[y]), r = min(t, bcnt[x]), sm = 0;for (int i = l; i <= r; ++i) {sm = (sm + C(t, i)) % mod;}k = k * sm % mod;}ans = (ans + k) % mod;bcnt[a1]++;}cout << ans << endl;
}

T3

冷珞走过许许多多的地方，见过各种各样的人。
她来到一片原野，这里排布着 \(n\) 座山脉或者低谷，而冷珞想要为这里拍一张最美的照片。
我们用一个整数 \(h_i\) 代表从左向右第 \(i\) 座山脉或低谷的海拔，如果 \(h_i > 0\) 则代表是山脉，\(h_i = 0\) 代表是平原，\(h_i < 0\) 代表是低谷。那么冷珞认为最美的照片应当满足：

\[\forall i = 2, 3, \ldots n - 1, h_{i-1} + h_{i+1} = h_i \]

为此冷珞可以动用魔法，每次选择一个 \(i\) 让 \(h_i\) +1 或者 -1，不过这需要花费 \(w_i\) 的魔力，请你帮冷珞求出最少需要花费多少魔力可以拍出最美的照片。

此外有 \(q\) 次单点修改，每次形如：

• \(1, x, y\), 表示修改 \(h_x = y\).
• \(2, x, z\), 表示修改 \(w_x = z\).

你需要在所有操作前以及每次操作后输出此时最少需要花费多少魔力可以拍出最美的照片，注意动用魔法不会真的修改 \(h\)，即每次询问是独立地。

听说是三分套三分，待补。

T4

冷珞最近一直在做着相似的梦，梦中她来到了一个迷宫当中。

在连续的 \(q\) 天中，每天晚上冷珞都会来到这座迷宫中，见到曾经见过的、未曾见过的、已经消失的人们。

每一天的迷宫都不尽相同，第 \(i\) 天晚上，迷宫中有 \(N = 2^{n_i} - 1\) 个房间，有若干条有向的道路连接着这些房间。具体来说，如果把房间编号为 \(0,1,2 \dots 2^{n_i} - 2\)，那么对于 \(i=0,1,2 \dots 2^{n_i} - 2\)，有从编号为 \(i\) 的房间分别连向编号为 \((2i) \bmod N\), \((2i + 1) \bmod N\) 的房间的单向道路。

冷珞会从编号为 \(s_i\) 的房间出现，每一秒沿着一条道路移动一次，并在 \(c_i\) 秒后在编号为 \(t_i\) 的房间从梦中醒来。

由于某种神秘规律，第 \(i\) 天的梦里编号为 \(l_i, l_i + 1 \dots r_i - 1, r_i\) 的房间里都有着冷珞想要见到的人们，其余房间里都没有，每当冷珞进入这些房间就会和他们打招呼，重复进入会计算多次，第一天和最后一天也都算。每一天冷珞都想要知道，所有不同的移动方式下，总共会打招呼多少次？两种方式不同当且仅当某一秒所在的房间不同。

由于答案可能很大，请输出答案对 \(998244353\) 取模的结果。

待补。