一、选择题

第 1 题

题目：已知char a; float b; double c;，执行语句c = a + b + c;后变量c的类型是（ ）。
A. char B. float C. double D. int

正确答案：C
答案解析：
在 C++ 中，表达式运算会进行类型提升：

1. a（char）与b（float）相加时，char 提升为 float，结果为 float。
2. 该 float 结果再与c（double）相加时，float 提升为 double，最终结果类型为 double。
   因此，变量c的类型仍为 double。

讲解方法和教案：

• 教学目标：理解 C++ 中的类型转换规则（自动提升）。
• 重点：不同类型运算时，低精度类型向高精度类型提升（char→int→float→double）。
• 教学步骤：
  1. 举例说明类型提升：如int + float结果为 float，float + double结果为 double。
  2. 强调表达式结果类型由参与运算的最高精度类型决定。

第 2 题

题目：以下对main函数描述正确的是（ ）。
A. main函数必须写在所有函数的前面
B. main函数必须写在所有函数的后面
C. main函数可以写在任何位置，但不能放到其他函数里
D. main函数必须写在固定位置

正确答案：C
答案解析：
C++ 中，main函数是程序的入口，但没有规定其必须位于代码的特定位置。

• 它可以写在其他函数之前或之后，但不能被其他函数包含（即不能在某个函数内部定义main）。
  选项 A、B、D 均错误，C 正确。

讲解方法和教案：

• 教学目标：明确main函数的特殊性和位置要求。
• 重点：main函数是程序执行的起点，独立定义，不被其他函数包含。
• 教学步骤：
  1. 展示不同位置定义main函数的合法代码（如main在开头、中间、结尾）。
  2. 强调错误写法：在另一个函数内部定义main会导致编译错误。

第 3 题

题目：二进制数1101111转换为十六进制是（ ）。
A. 157 B. 111 C. 6f D. 3f

正确答案：C
答案解析：
二进制转十六进制需从右到左每 4 位分组（不足补前导 0）：

• 1101111 → 补前导 0 为0110 1111
• 0110对应十六进制6，1111对应F（小写为f），故结果为6f（选项 C）。

讲解方法和教案：

• 教学目标：掌握二进制与十六进制的转换方法（4 位分组法）。
• 重点：分组时从右往左，不足补 0；十六进制字符大小写不影响值（但题目选项需严格匹配）。
• 教学步骤：
  1. 演示分组过程，计算每组对应的十六进制值。
  2. 练习：将10101010转换为十六进制（A10→错误，正确为 AA）。

第 4 题

题目：下列函数中哪一个不能重载（ ）。
A. 构造函数 B. 析构函数 C. 成员函数 D. 非成员函数

正确答案：B
答案解析：
函数重载要求函数名相同，参数列表不同。

• 析构函数的名称固定为~类名()，且没有参数，无法通过参数列表区分，因此不能重载。
• 构造函数可以重载（不同参数列表），成员函数和非成员函数也可以重载。

讲解方法和教案：

• 教学目标：理解函数重载的条件，掌握析构函数的特性。
• 重点：析构函数的名称固定，无参数，不能重载。
• 教学步骤：
  1. 对比构造函数和析构函数的定义形式。
  2. 解释重载的规则：名称相同，参数不同；析构函数不满足条件。

第 5 题

题目：下列指针的用法中哪一个不正确（ ）。
A. int i; int *p = &i;
B. int i; int *p; i = *p;
C. int *p; p = 0;
D. int i = 5; int *p; p = &i;

正确答案：B
答案解析：

• 选项 A：正确，指针p指向变量i的地址。
• 选项 B：错误，指针p未初始化（未指向有效地址），解引用*p会导致未定义行为（野指针）。
• 选项 C：正确，p = 0等价于p = nullptr，表示空指针。
• 选项 D：正确，指针p指向变量i的地址。

讲解方法和教案：

• 教学目标：掌握指针的正确初始化和使用，避免野指针。
• 重点：解引用未初始化的指针是危险操作，可能导致程序崩溃。
• 教学步骤：
  1. 演示合法的指针初始化（指向变量、空指针）。
  2. 强调野指针的危害，通过示例说明错误用法（如选项 B）。

二、编程题

第 6 题：比较大小

题目描述：输入两个正整数 N 和 M（N≠M），输出较大的数。
样例输入：145 100 → 样例输出：145

正确答案代码：

cpp

#include <iostream>
using namespace std;int main() {int n, m;cin >> n >> m;cout << (n > m ? n : m);return 0;
}

答案解析：
直接使用条件运算符(n > m ? n : m)比较两个数，返回较大者。输入保证 N≠M，无需处理相等情况。

讲解方法和教案：

• 教学目标：掌握基本条件判断，使用条件运算符简化代码。
• 重点：条件表达式的语法(条件 ? 结果1 : 结果2)。
• 教学步骤：
  1. 分析问题：仅需一次比较，输出较大值。
  2. 代码实现：演示条件运算符的用法，对比if-else语句的等价写法。

第 7 题：分解整数

分解整数
题目描述：
给定一个正整数N，然后将N分解成3个正整数之和。计算出共有多少种符合要求的分解方法。
要求：
1）分解的3个正整数各不相同；
2）分解的3个正整数中都不含数字3和7。
如：N为8，可分解为（1，1，6）、（1，2，5）、（1，3，4）、（2，2，4）、（2，3，3），其中满足要
求的分解方法有1种，为（1，2，5）。
输入描述：
输入一个正整数N(5<N<501)，表示需要分解的正整数
输出描述：
输出一个整数，表示共有多少种符合要求的分解方法
样例输入：

8
样例输出：
1

题目描述：将正整数 N 分解为 3 个不同的正整数之和，要求每个数不含数字 3 和 7，求分解方法数（顺序不同视为同一分解，如 (1,2,5) 和 (2,1,5) 视为同一种）。
样例输入：8 → 样例输出：1（仅 (1,2,5) 符合条件）

正确答案思路：

1. 三重循环枚举三个数 a、b、c，满足a < b < c（避免重复计数），且a + b + c = N。
2. 检查每个数是否不含数字 3 和 7（逐位判断）。

代码实现：

cpp

#include <iostream>
using namespace std;bool has_forbidden(int x) {while (x > 0) {int digit = x % 10;if (digit == 3 || digit == 7) return true;x /= 10;}return false;
}int main() {int n, count = 0;cin >> n;// 保证a < b < c，避免重复for (int a = 1; a < n - 2; a++) {if (has_forbidden(a)) continue;for (int b = a + 1; b < n - a - 1; b++) {if (has_forbidden(b)) continue;int c = n - a - b;if (c > b && !has_forbidden(c)) { // c必须大于b，且不含3、7count++;}}}cout << count;return 0;
}

答案解析：

• 去重：通过a < b < c确保每个分解仅计算一次。
• 数字检查：定义函数has_forbidden判断数字是否包含 3 或 7。
• 循环范围：a 从 1 到 n-3，b 从 a+1 到 (n-a-1)/2，减少无效循环。

讲解方法和教案：

• 教学目标：掌握三重循环枚举，条件过滤，去重技巧。
• 重点：
  • 如何避免重复分解（通过顺序 a < b < c）。
  • 数字逐位检查的方法（取余和整除）。
• 教学步骤：
  1. 分析样例：N=8 时，合法分解需满足 a+b+c=8，a<b<c，且每个数不含 3、7。
  2. 算法设计：枚举 a 和 b，计算 c=N-a-b，检查 c 是否大于 b 且合法。
  3. 代码实现：讲解has_forbidden函数的逻辑，循环范围的优化。

第 8 题：组合

题目描述：已知 N 和 M 互质，求最大不能表示的糖果数量（即无法用 kN + mM 表示的最大正整数，k,m≥0）。
样例输入：3 5 → 样例输出：7（3*5 - 3 - 5 = 7）

正确答案思路：
当 N 和 M 互质时，最大不能表示的数为 N*M - N - M（数论中的 “青蛙问题” 公式）。

代码实现：

cpp

#include <iostream>
using namespace std;int main() {int n, m;cin >> n >> m;cout << n * m - n - m;return 0;
}

答案解析：
直接应用数论公式，无需枚举。公式成立条件是 N 和 M 互质（题目已保证）。

讲解方法和教案：

• 教学目标：理解互质数的性质，掌握 “青蛙问题” 公式。
• 重点：公式的推导（可简要说明：当 a 和 b 互质时，最大不能表示的数为 ab-a-b）。
• 教学步骤：
  1. 通过样例解释公式：3*5-3-5=7，验证样例输入正确。
  2. 说明公式的适用条件：两数互质。
  3. 代码实现：直接计算并输出结果。

第 9 题：最大值

题目描述：给定 N 张长方形彩纸，裁剪出 K 张大小相同的正方形，求最大边长（边长为整数），若无法裁剪则输出 - 1。
样例输入：
2 6
4 3
5 4 → 样例输出：2（每张彩纸分别可裁 (4/2)(3/2)=2 和 (5/2)(4/2)=4，共 6 张）

正确答案思路：

1. 二分法枚举可能的边长len（从 1 到最小的边长），判断是否能裁剪出至少 K 张正方形。
2. 对每张彩纸，计算可裁剪的正方形数量：(w/len) * (h/len)，总和≥K 则可行。

代码实现：

cpp

#include <iostream>
using namespace std;int n, k;
int papers[100][2]; // 存储每张彩纸的w和hbool check(int len) {long long total = 0;for (int i = 0; i < n; i++) {int w = papers[i][0], h = papers[i][1];total += (w / len) * (h / len);if (total >= k) return true; // 提前终止}return total >= k;
}int main() {cin >> n >> k;int max_len = 0, min_len = 1;for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> papers[i][0] >> papers[i][1];max_len = max(max_len, min(papers[i][0], papers[i][1])); // 最大可能边长}int left = 1, right = max_len, ans = -1;while (left <= right) {int mid = (left + right) / 2;if (check(mid)) {ans = mid;left = mid + 1; // 尝试更大的边长} else {right = mid - 1;}}cout << ans;return 0;
}

答案解析：

• 二分法：从 1 到最大可能边长（最小的彩纸边长）搜索，每次判断当前边长是否可行。
• 可行性函数 check：计算所有彩纸可裁剪的正方形总数，若≥K 则可行。
• 边界处理：若最大边长为 0（不可能），或最终 ans 仍为 - 1（无解），输出 - 1。

讲解方法和教案：

• 教学目标：掌握二分法在最值问题中的应用，理解可行性判断逻辑。
• 重点：
  • 二分法的区间定义和终止条件。
  • 如何计算单张彩纸可裁剪的正方形数量（w/len * h/len）。
• 教学步骤：
  1. 分析样例：边长 2 时，第一张彩纸 4x3 可裁 2x2 的正方形 2 个（4/2=2，3/2=1，21=2），第二张 5x4 可裁 2x2 的正方形 4 个（5/2=2，4/2=2，22=4），总和 6，符合条件。
  2. 算法设计：确定二分范围，实现 check 函数。
  3. 代码实现：讲解二分法的循环逻辑，注意数据类型溢出（使用 long long）。

第 10 题：农作物

题目描述：统计农田中独立的 “R” 区域数量（上下左右相连的 R 视为同一区域，杂草 X 分隔）。
样例输入：
4 4
R R R X
R X R X
X X X R
R X X X → 样例输出：3

正确答案思路：
使用 ** 深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）** 遍历每个未访问的 R 节点，标记已访问，统计区域数。

代码实现（DFS）：

cpp

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;const int MAXN = 100;
char field[MAXN][MAXN];
bool visited[MAXN][MAXN];
int n, m;void dfs(int x, int y) {visited[x][y] = true;// 上下左右四个方向int dx[] = {-1, 1, 0, 0};int dy[] = {0, 0, -1, 1};for (int i = 0; i < 4; i++) {int nx = x + dx[i];int ny = y + dy[i];if (nx >= 0 && nx < n && ny >= 0 && ny < m && !visited[nx][ny] && field[nx][ny] == 'R') {dfs(nx, ny);}}
}int main() {cin >> n >> m;for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < m; j++) {cin >> field[i][j];}}memset(visited, false, sizeof(visited));int count = 0;for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < m; j++) {if (field[i][j] == 'R' && !visited[i][j]) {dfs(i, j);count++;}}}cout << count;return 0;
}

答案解析：

• 二维数组存储农田，visited数组标记是否访问过。
• DFS 遍历：从每个未访问的 R 节点出发，递归访问上下左右相连的 R 节点，标记为已访问。
• 统计次数：每次启动 DFS，区域数加 1。

讲解方法和教案：

• 教学目标：掌握图的遍历算法（DFS/BFS），解决区域计数问题。
• 重点：
  • 二维网格的方向数组（上下左右）。
  • 边界条件判断（坐标是否越界）。
• 教学步骤：
  1. 分析样例：通过画图展示三个独立的 R 区域，说明相连的 R 如何被 DFS 遍历。
  2. 算法设计：使用二维数组和访问标记数组，遍历每个单元格。
  3. 代码实现：讲解 DFS 的递归逻辑，对比 BFS 的队列实现方式。

第 11 题：面积

题目描述：计算 N 个矩形的面积并集（重叠部分只算一次）。
样例输入：
2
2 2 9 5
6 1 12 9 → 样例输出：60

正确答案思路：

1. 二维网格标记法：创建一个足够大的二维数组（如 100x100），标记每个格子是否被至少一个矩形覆盖。
2. 遍历所有矩形，将其覆盖的格子标记为 1，最后统计所有标记为 1 的格子数量。

代码实现：

cpp

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;const int MAX_COORD = 100;
int grid[MAX_COORD + 1][MAX_COORD + 1]; // 坐标范围0~100int main() {int n;cin >> n;memset(grid, 0, sizeof(grid));for (int i = 0; i < n; i++) {int x1, y1, x2, y2;cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;// 确保x1 < x2，y1 < y2（题目中x1≠x2，y1≠y2，但可能顺序颠倒）if (x1 > x2) swap(x1, x2);if (y1 > y2) swap(y1, y2);for (int x = x1; x < x2; x++) {for (int y = y1; y < y2; y++) {grid[x][y] = 1; // 标记为覆盖}}}int area = 0;for (int x = 0; x <= MAX_COORD; x++) {for (int y = 0; y <= MAX_COORD; y++) {area += grid[x][y];}}cout << area;return 0;
}

答案解析：

• 坐标处理：确保 x1 < x2，y1 < y2（交换顺序，避免无效循环）。
• 网格标记：每个矩形覆盖的区域（x1 到 x2-1，y1 到 y2-1，因为坐标是左闭右开）。
• 面积统计：遍历整个网格，累加所有标记为 1 的格子数。

讲解方法和教案：

• 教学目标：掌握矩形面积并集的网格标记法，处理坐标范围。
• 重点：
  • 矩形坐标的正确遍历（左闭右开区间）。
  • 处理坐标颠倒的情况（如 x1 > x2 时交换）。
• 教学步骤：
  1. 分析样例：两个矩形的覆盖区域，计算重叠部分的处理方式（只算一次）。
  2. 算法设计：使用二维数组模拟网格，标记每个格子是否被覆盖。
  3. 代码实现：讲解坐标交换的逻辑，循环遍历矩形的行和列。

总结

本次真题涵盖 C++ 基础语法、数学算法（数论、二分法）、图论（DFS）、几何（矩形面积）等知识点。教学时应注重：

1. 选择题：强化类型转换、函数特性、指针安全等基础概念。
2. 编程题：引导学生从问题分析到算法设计，逐步实现，如分解整数的三重循环去重、组合问题的公式应用、面积问题的网格标记法。
3. 算法思维：培养二分法、DFS/BFS 等常用算法的应用能力，通过样例理解问题本质。