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拉丁超立方采样（Latin Hypercube Sampling）技术详解

拉丁超立方采样是一种用于多维参数空间采样的统计方法，广泛应用于不确定性量化、敏感性分析以及工程仿真等领域。本文将深入浅出地介绍其原理、数学公式，并结合 Python 代码实现演示如何高效生成满足均匀性要求的采样点。

1. 引言

在很多实际问题中，参数的不确定性可能导致模型结果的显著变化。传统的蒙特卡洛采样虽然简单，但在高维情况下需要大量样本才能覆盖参数空间。拉丁超立方采样作为一种改进方案，通过保证各维度均匀分布，能在较少样本下实现较好的覆盖效果，从而提高仿真效率。

2. 拉丁超立方采样原理

拉丁超立方采样的基本思想可以概括为：

• 分割区间：对于每个维度，将变量所在区间均匀划分为 (N) 个互不重叠的子区间（通常 (N) 为样本数）。
• 在子区间内随机采样：在每个子区间内随机抽取一个点，保证每个区间仅使用一次。
• 随机排列组合：对每个维度均进行上述采样，再通过随机排列组合不同维度的采样点，形成多维采样点矩阵。

这种方法确保了在任一维度上，采样点都均匀分布在整个区间内，从而避免了传统随机采样中可能出现的“空洞”。

3. 数学公式描述

设有 $d$ 个维度，每个维度的区间被划分为 $N$ 个等概率子区间，令 $i=1,2,\dots ,N$ 表示样本编号，$j=1,2,\dots ,d$ 表示维度。对于每个维度 $j$：

1. 先随机生成一个排列 ${\pi }^{}$