最小链覆盖 - Dilworth 定理 小记

最小链覆盖 - Dilworth 定理 小记

内容 & 证明

Dilworth定理，一言以蔽之，偏序集能划分成的最少的全序集个数等于最大反链的元素个数。——litble。

即最小链覆盖数等于最长反链的长度。

例子：求一个序列最少划分成多少个最长不下降子序列，等价于求序列的最长下降子序列长度。

不严谨证明（仅讨论二维偏序）：

假设最小链覆盖等于 \(N\)，最大反链等于 \(M\)。

证明 \(N\ge M\)：最大反链中任意两个点都是不可比的，因此反链上每个点都各属于不同的链覆盖中，则 \(N\ge M\)。

证明 \(N\le M\)：求出每个点开始的最长反链长度 \(f(x)\)，我们按 \(f(x)\) 相同的点分层。可以知道同一层的任意两个点都是可比的，不然如果存在同一层两个点 \(x,y\) 不可比，则 \(f(x)\gets f(y)+1\)，则与同一层矛盾。于是，同一层的点可以划分为一个链覆盖， 于是 \(N\le M\)。

例题 1：P3974 [TJOI2015] 组合数学 - 洛谷

网格图路径可以看做选一条不上升子序列，要求选出最少的不上升子序列使得覆盖所有点。

利用 Dilworth 定理转化为求最长上升子序列。

例题 2：P14394 [JOISC 2016] 俄罗斯套娃 / Matryoshka - 洛谷

开始读错题了，始终不会算，注意：

其中所有底面直径不小于 A cm 且高度不超过 B cm 的套娃将提前交付。

所以每次加入一层 \(y\)，然后用树状数组维护每个点开始的 LDS 即可。

例题 3：P10938 Vani和Cl2捉迷藏 - 洛谷

题目即要求最长反链，转化为求最小链覆盖（注意这里的链是一个点集而不是路径）。

用 Floyd 跑一次传递闭包转化为最小路径覆盖。

至于最小路径覆盖就是考虑 \(u\to v\) 化成二分图上的左部点 \(u\) 向右部点 \(v\) 连一条边，一开始每个点单独成路径，每次二分图上匹配一条边就表示两点所在路径首尾相连，于是最小路径覆盖就等于点数减去最大匹配。