有限元技巧核心原理与学习路径：从一维基础到多维拓展（七步流程）

有限元学习七步流程（系统优化版）

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本文先从一维杆的核心力学关系入手，求解其应力、应变；随后介绍位移法的求解思路；在此基础上，引入试函数法，通过虚功原理与最小势能原理建立问题的弱形式；最后，对有限元法的基本计算流程进行总结。

如若希望直接了解整体流程，可跳过前面的PPT内容，从 “① 理论入门：掌握物理本质” 开始观看。

文章目录

• 有限元学习七步流程（系统优化版）
• • **① 理论入门：掌握物理本质**
  • **② 数学建模：位移与应变的假设**
  • **③ 能量法与虚功原理：建立变分关系**
  • • ⚙️ 虚功原理推导过程
    • • (1) 虚功方程
      • (2) 应变能变化
      • (3) 试函数
      • (4) 应变能变化计算
      • (5) 平衡结果
    • ⚙️ 最小势能原理推导
    • • (1) 最小势能原理
      • (2) 系统应变能
      • (3) 体系外力势能
      • (4) 势能函数
      • (5) 取极值条件
      • (6) 试函数与结果
  • **④ 弱形式与有限元基础**
  • **⑤ 有限元离散与矩阵方程**
  • **⑥ 数值计算与验证**
  • **⑦ 知识融合与高维扩展**
  • • （1）从一维到二维的推广
    • （2）三维问题的拓展
  • ✅ **总结**

已知: 通过给定的材料属性（如杨氏模量$E$ 和截面面积 $A$）和外力 $F$，计算结构在受力下的位移$u$、应变 $ϵ$ 和应力 $\sigma$。

1、传统材料力学求解方法

当结构较为复杂时，采用传统的材料力学方法求解将变得十分繁琐，因此引入了位移法来进行分析。

2、位移解法

接下来将介绍有限元分析的基本解题流程。

基础流程总结

有限元特点

1️⃣ 力学法的局限

最早的结构分析方法是力学法（位移解法）。
：就是它的基本思路
通过建立平衡方程 + 几何方程 + 本构关系，求解结构的位移、应变和应力分布。

这种方法理论严谨、结果精确，但困难在于——
一旦结构稍微复杂，便会出现高阶偏微分方程。
微分方程不仅难解，而且容易出错，手算几乎不可能。
因此，虽然力学法最精确，却不具备工程可操作性。

2️⃣ 引入能量原理：摆脱微分方程

为了避免直接求解微分方程，人们引入了虚功原理和最小势能原理。
这两个原理是等价的能量法，它们允许我们绕开微分方程，借助积分求解。

核心思想是：

先假设位移函数，再用能量平衡确定未知参数。就是不再直接解微分方程，而

例如：

你能够猜位移是线性的：$u(x)=a_0+a_{1}x$

或者猜是正弦的：$u(x)=b_0+b_1\sin x$

只要假设满足（或接近）边界条件，就能通过能量原理得到结构响应。
整个过程只涉及积分，不再需要解微分方程！

这就是所谓的：

“从强形式（微分方程）到弱形式（积分方程）”的转变。
具体推导过程可参考链接

虚功原理

最小势能原理

例子
一维

二维

三维

① 理论入门：掌握物理本质

建立力学三大基本关系（以一维杆为例）：

• 平衡方程：
  $$\frac{d\sigma }{dx}+f=0$$

• 几何关系：
  $$\epsilon =\frac{du}{dx}$$

• 本构关系：
  $$\sigma =E\epsilon$$

材料假设：线性弹性、均质、各向同性。
目标：明确应力–应变–位移之间的物理因果关系。

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② 数学建模：位移与应变的假设

• 假设线性位移场：
  $$u(x)=cx$$

• 边界条件：
  $$u(0)=0$$

• 根据力平衡和边界条件：
  $$c=\frac{P}{EA}$$

• 因此：
  $$\epsilon =\frac{du}{dx}=\frac{P}{EA},\sigma =E\epsilon =\frac{P}{A}$$

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③ 能量法与虚功原理：建立变分关系

采用势能极值原理：
$$\Pi (u)=U-W$$

平衡条件由：
$$\delta \Pi =0\Rightarrow \delta U=\delta W$$

对于杆件问题：
$$u(x)=\frac{P}{EA}x,\epsilon =\frac{P}{EA},\sigma =\frac{P}{A}$$

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⚙️ 虚功原理推导过程

(1) 虚功方程

$$\delta U=\delta W$$

(2) 应变能变化

$$\delta W=P(x)\delta u(x)$$

$$\delta U=\delta \left(\frac{1}{2}{\int }_{\Omega }\sigma (x)\epsilon (x)dV\right)$$

(3) 试函数

$$u(x)=cx\Rightarrow \delta u(x)=\delta c\cdot x$$

$$\sigma (x)=E\epsilon (x)\Rightarrow \delta \sigma (x)=E\cdot \delta c$$

$$\epsilon (x)=\frac{du}{dx}\Rightarrow \delta \epsilon (x)=\delta c$$

(4) 应变能变化计算

(5) 平衡结果

$$c=\frac{P}{EA},\epsilon (x)=\frac{P}{EA},\sigma (x)=\frac{P}{A},u(x)=\frac{P}{EA}x$$

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⚙️ 最小势能原理推导

(1) 最小势能原理

$$\underset{u(x)\in BC(u)}{\min }[\Pi (u)=U-W]$$

(2) 环境应变能

$$U=\frac{1}{2}{\int }_{\Omega }\sigma (x)\epsilon (x)dV$$

(3) 系统外力势能

$$-W=-P\cdot u(x=l)$$

(4) 势能函数

$$\Pi (u)=\frac{1}{2}E{c}^{2}Al-Pcl$$

(5) 取极值条件

$$\frac{\partial \Pi }{\partial c}=0$$

(6) 试函数与结果

$$u(x)=cx,\epsilon (x)=c,c=\frac{P}{EA}$$

同样得到：
$$\epsilon (x)=\frac{P}{EA},\sigma (x)=\frac{P}{A},u(x)=\frac{P}{EA}x$$

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④ 弱形式与有限元基础

由强形式（微分方程）通过分部积分得到弱形式：
$${\int }_0^{L}EA\frac{du}{dx}\frac{dv}{dx}dx={\int }_0^{L}fvdx+[\bar{T}v{]}_L$$

边界条件：

• 本质边界条件：直接作用于位移，如$u(0)=0$；
• 自然边界条件：由弱式自动包含，如$\sigma (L)=\bar{T}$。

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⑤ 有限元离散与矩阵方程

• 单元内位移近似：
  $$u(\xi )=N_1{u}_1+N_2{u}_2,N_1=1-\xi ,N_2=\xi$$

• 单元刚度矩阵：
  $$K_e={\int }_0^L{B}^{T}EABdx=\frac{EA}{L}\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 1\end{array}\right]$$

• 全局组装：按节点连接关系叠加$K_e$形成整体刚度矩阵$K$。

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⑥ 数值计算与验证

• 通过求解线性方程：
  $$KU=F$$
  得到节点位移。

• 计算应变与应力：
  $$\epsilon =B{U}_e,\sigma =E\epsilon$$

• 与解析解对比，验证有限元解的正确性。

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⑦ 知识融合与高维扩展

（1）从一维到二维的推广

二维问题常见于平面应力与平面应变状态：

$$u=u(x,y),v=v(x,y)$$

几何方程（应变–位移关系）：
$$\begin{array}{rl}{\epsilon }_x& =\frac{\partial u}{\partial x},\\ {\epsilon }_y& =\frac{\partial v}{\partial y},\\ {\gamma }_{xy}& =\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}\end{array}$$

矩阵形式：

平面应力本构关系：
$${\mathbf{D}}_{\text{plane-stress}}=\frac{E}{1-{\nu }^2}\left[\begin{array}{ccc}1& \nu & 0\\ \nu & 1& 0\\ 0& 0& \frac{1-\nu }{2}\end{array}\right]$$

平面应变本构关系：
$${\mathbf{D}}_{\text{plane-strain}}=\frac{E(1-\nu )}{(1+\nu )(1-2\nu )}\left[\begin{array}{ccc}1& \frac{\nu }{1-\nu }& 0\\ \frac{\nu }{1-\nu }& 1& 0\\ 0& 0& \frac{1-2\nu }{2(1-\nu )}\end{array}\right]$$

二维单元刚度矩阵：
$${\mathbf{K}}_e={\int }_V{\mathbf{B}}^T\mathbf{DB}dV$$

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（2）三维问题的拓展

三维位移场：
$$u=u(x,y,z),v=v(x,y,z),w=w(x,y,z)$$

应变分量：

三维线弹性本构矩阵：
$${\mathbf{D}}_{3D}=\frac{E(1-\nu )}{(1+\nu )(1-2\nu )}\left[\begin{array}{cccccc}1& \frac{\nu }{1-\nu }& \frac{\nu }{1-\nu }& 0& 0& 0\\ \frac{\nu }{1-\nu }& 1& \frac{\nu }{1-\nu }& 0& 0& 0\\ \frac{\nu }{1-\nu }& \frac{\nu }{1-\nu }& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& \frac{1-2\nu }{2(1-\nu )}& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& \frac{1-2\nu }{2(1-\nu )}& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& \frac{1-2\nu }{2(1-\nu )}\end{array}\right]$$

三维单元刚度矩阵：
$${\mathbf{K}}_e={\int }_V{\mathbf{B}}^T{\mathbf{D}}_{3D}\mathbf{B}dV$$

典型单元包括四面体、六面体、棱柱体等，通过三维高斯积分计算。

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✅ 总结

一维问题奠定理论基础，二维与三维扩展实现真实工程模拟。
：就是其核心始终
“几何方程 + 本构关系 + 平衡方程 → 弱形式 → 数值离散”

参考
通俗易懂的有限元基础原理
有限元法基础-福州大学