【神秘题解】NOIP 前复健

news/2025/11/22 11:40:31/文章来源:https://www.cnblogs.com/Rikku-eq/p/19254290

题意

有 \(n\) 名同学从左到右排成一排，第 \(i\) 名同学的身高为 \(h_i\)。现在张老师想改变排队的顺序，他能进行任意多次（包括 0 次）如下操作：

如果两名同学相邻，并且他们的身高之差不超过 \(D\)，那么老师就能交换他俩的顺序。

请你帮张老师算一算，通过以上操作，字典序最小的所有同学（从左到右）身高序列是什么？

题解

这个题的条件等价于 \(\forall i, j\in [1, n], |h_i-h_j|>D\)，\(h_i, h_j\) 的顺序是不能改变的。因此很容易想到将所有满足这个条件的 \(i, j\) 对之间连一条有向边，最后求字典序最小的拓扑序即可。复杂度 \(O(n^2)\)。

为了方便叙述，我们将一个 \(h_i\) 的下标（位置）\(i\) 作为这个节点的编号。也即下文中节点 \(i\) 指原序列中 \(h_i\) 这个数。

这个做法的操作过程：每次取出当前 \(h_i\) 最小的入度为 0 的点 \(i\)，将之加入答案序列末尾，然后删除这个点以及所有与这个点相连的边，更新其他点的入度。可以用优先队列（priority_queue）实现。

问题在于 删一个点的时候更新所有点的入度 太慢了。针对这个瓶颈有两个做法。

做法一

来自于这篇文章的做法。不好想，但是好写。

优化关键在于一个很神奇的性质：在任意时刻，该有向图的所有入度为 0 的点在最终序列里都是连续的，且按从小到大的顺序排列。

从小到大是好理解的，因为这样字典序最小。下面稍微证明下连续。

略加证明：

设当前入度为 0 的点的集合为 \(\{ a_1, a_2, \cdots, a_k \}\)，其中 \(h_{a_1}\leq h_{a_2}\leq \cdots \leq h_{a_n}\)。

由于这些点同时入度为 0，因此 \(|h_{a_n}-h_{a_1}|\leq D\)。（1）

假设 \(a\) 在最终序列中不连续，则存在一个 \(i<n\)，将 \(a_i\) 加入序列末尾并删除后，存在一个原来入度不为 0 的点 \(k\) 入度变为 0，使得 \(h_k<h_{a_n}\)。

分类讨论：

\(h_{a_i}\leq h_k \leq h_{a_n}\)：由（1）性质可知，\(k\) 和 \(a_i\) 之间不可能有边，矛盾。
\(h_k\leq h_{a_i}\)：此时 \(k\) 满足 \(h_k\leq h_{a_i}-D\)，故同时有 \(h_{a_n}-h_k>D\)，因此 \(a_n\) 向 \(k\) 有一条边且还未被删除，与 \(k\) 此时入度为 0 矛盾。

综上，不存在假设中的情况。也就是说，这些入度为 0 的点一定是连续的。

所以我们把上面的算法过程改为：每次找出当前所有入度为 0 的点，按照 \(h\) 排序并加入答案序列，再一并删除这些点。

这样还是 \(O(n^2)\) 的，但接下来就是比较套路化的优化了。我们只需要计算每个点 \(i\) 在第几批会成为入度为 0 的点即可，这等于所有指向它的点的批次最大值+1。而所有指向 \(i\) 的点 \(j\) 满足 \(j<i\) 且 \(|h_i-h_j|>D\) ，是两个二维偏序的形式，这是可以线段树直接处理的。

具体地，我们按从 \(1\) 到 \(n\) 的顺序遍历整个序列，值域线段树维护每个点被删掉的批次。处理到 \(i\) 时，在线段树上查询值在 \([-\infty, h_i-D)\) 和 \((h_i+D, +\infty]\) 的所有点的 \(f\) 最大值，从而求得当前的 \(f\)，再拿这个 \(f\) 去更新线段树即可。

你可能会问值域这么大怎么开线段树。其实有效的值只有原序列里的 \(h\)，所以把所有 \(h\)，赋值到一个新序列 \(v\) 中排个序，在这个序列上建立线段树即可。查询区间时二分一下当前值域区间在 \(v\) 上的左右边界，确定在 \(v\) 上的区间，然后直接查询即就可以了。这个过程称为 离散化，很多值域很大的问题都可以这样处理。

那么最后一步就是把每个批次排序输出，然后这题就做完了。

下面是一些小 tips：

上面这个是二维偏序求解的标准过程，具体来说就是扫描（遍历）偏序的其中一维，然后数据结构维护另一维。这里另一维是前后缀最大值，所以既可以用线段树也可以用树状数组。
注意树状数组只能在 前缀查询 且所有单点修改 只会让最大值变大 / 最小值变小 的情景下做最值查询，其余情况例如区间查、随意单点修改等情况均只能用线段树。