模拟赛 R24

news/2025/11/22 11:31:08/文章来源:https://www.cnblogs.com/Hengqwq/p/19251107

T2 - 基站修建

题目描述

A 城计划修建一些通讯基站，因此工程师面临着这样一个问题。

A 城可以抽象为一个 \(3\) 行 \(n\) 列的点阵，其中左上点的坐标为 \((1,1)\)，右下点的坐标为 \((3,n)\)。一些位置由于诸多问题可能无法修建基站，因此使用字符 # 表示这个位置不能修建基站，使用字符 . 表示允许修建基站。

为了使得基站的通讯覆盖范围尽可能大，工程师希望建造的所有基站两两欧几里得距离的最小值最大。现在他给了你一个参数 \(m\)，他想知道，对所有 \(2\le k\le m\)，如果在城市中修建 \(k\) 个基站，这个最大值是多少。

特别地，如果无法修建 \(k\) 个基站，则请输出 -1。

Solution

最大子矩阵的回旋镖正中眉心（。还记得当时第一个设计的状态是 \(f_{i, j, mask}\) 表示选了前 \(i\) 行，\(j\) 个子矩形，\(mask\) 表示第 \(i\) 行的选择状态。那个题因为一行可能分属两个矩形，所以这个状态寄掉了。然后那题的正解状态是 \(f_{i, j, k}\) 表示第一列选到前 \(i\) 行，第二列选到前 \(j\) 行，选了 \(k\) 个子矩形的最大和。
欸，这题的形式不是很像吗。先二分距离的最小值 \(d\)，貌似直接套用最大子矩形的状态，单次 \(O(N^3)\) 算出最多能放几个，但是复杂度有点炸。
结果本题正解状态是最大子矩形被否掉的那个。\(f_{i, mask, j}\) 表示前 \(i\) 列（第 \(i\) 列至少选一个），第 \(i\) 列和 \(i - 1\) 列放了没放的状态是 \(mask\)，选了 \(j\) 个点的答案。主要是这题根本不存在什么分属两个矩形的麻烦。然后转移时，发现第 \(i\) 列的一个点，离他最近的，在必选第 \(j\) 列的情况下，可能来自第 \(j\) 列，也可能来自第 \(j - 1\) 列，但绝对不会出现在 \(j - 2\) 列（解方程说明即可）。因此转移就从 \(f_{i', mask, j'}(i' < i)\) 处转，这样就可以 \(O(N^3)\) 把所有答案求出来，有 \(2^9\) 的常数，勉强可过。
代码微史。

code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1e2 + 5;
double f[N][3 * N][8][8], c[N][8][8][8], ans[N];
int n, m, mp[N];
inline void chmax(double &x, double y){ x = (x > y ? x : y); }
inline void chmin(double &x, double y){ x = (x < y ? x : y); }
inline double sq(double x){ return x * x; }
int main(){cin.tie(0)->sync_with_stdio(0);cin >> n >> m;for(int i = 0; i < 3; ++i){for(int j = 1; j <= n; ++j){char x; cin >> x;if(x == '.') mp[j] |= (1 << i);}}for(int i = 1; i <= n; ++i){for(int p = 1; p < 8; ++p){for(int o = 0; o < 8; ++o){for(int q = 0; q < 8; ++q){c[i][p][o][q] = (p == 1 || p == 2 || p == 4 ? 1e18 : (p == 5 ? 2 : 1));for(int t = 0; t < 3; ++t){if(p & (1 << t)){for(int s = 0; s < 3; ++s){if(o & (1 << s))chmin(c[i][p][o][q], sqrt(sq(i) + sq(s - t)));}for(int s = 0; s < 3; ++s){if(q & (1 << s))chmin(c[i][p][o][q], sqrt(sq(i + 1) + sq(s - t)));}}}}}}}f[0][0][0][0] = 1e18;for(int i = 1; i <= n; ++i){for(int j = 1; j <= m; ++j){for(int s = 1; s < 8; ++s){int k = __builtin_popcount(s);if(j < k || !((s | mp[i]) == mp[i])) continue;for(int t = 0; t < 8; ++t){for(int o = 0; o < 8; ++o){double w = min(f[i - 1][j - k][t][o], c[1][s][t][o]);chmax(f[i][j][s][t], w);}}for(int p = i - 2; p >= 0; --p){for(int t = 0; t < 8; ++t){for(int o = 0; o < 8; ++o){double w = min(f[p][j - k][t][o], c[i - p][s][t][o]);chmax(f[i][j][s][0], w);}}}for(int t = 0; t < 8; ++t){chmax(ans[j], f[i][j][s][t]);}}}}for(int i = 2; i <= m; ++i){if(ans[i] == 0) cout << -1 << '\n';else cout << fixed << setprecision(12) << ans[i] << '\n';}return 0;
}

T3 - 双端队列

题目描述

小 Z 学习了一个新的数据结构——双端队列，于是他有了这样的一个 idea。

给出一个长为 \(n\) 的序列 \(a_{1\cdots n}\) 和一个初始为空的双端队列 \(Q\)，接下来小 Z 会将这 \(n\) 个数插入到 \(Q\) 中：

先将 \(a_1\) 插入至 \(Q\)。
接下来从 \(a_2\) 开始，每个数可以选择插入至 \(Q\) 的左端点或右端点。

在插入完 \(n\) 个数之后，小 Z 希望最小化 \(Q\) 中相邻两个数差值的最大值，请你输出这个结果，并构造任意一组操作方案。

Solution

dp 题。首先有一个朴素的状态 \(f_{i, j}\) 表示左边插的是 \(i\)，右边插的是 \(j\) 的答案，bfs 转移即可。
发现这个转移一会改第一维，一会改第二维，还要取 \(\max\)，难以优化。
那么我们先二分答案 \(d\)，最优性转可行性。再改一下状态，\(f_{i, j, 0/1}\) 表示插到前 \(i\) 个，另一边插的是 \(j\)，这个 \(i\) 是被插到了左边/右边是否可行。转移是：

\[\begin{aligned} f_{i, j, 0} & \gets f_{i - 1, j, 0} (|a_i - a_{i - 1}| \le d) \\ f_{i, i - 1, 0} & \gets f_{i - 1, j, 1} (|a_i - a_j| \le d) \\ f_{i, j, 1} & \gets f_{i - 1, j, 1} (|a_i - a_{i - 1}| \le d) \\ f_{i, i - 1, 1} & \gets f_{i - 1, j, 0} (|a_i - a_j| \le d) \\ \end{aligned} \]

很好看啊，转移 1，3 直接不动或者区间赋值为 0，而转移 2，4 则是查一下 \([a_i - d, a_i + d]\) 里有没有 1 然后单点修改，开两个线段树维护二维 dp 即可。
线段树常数大，无法通过。但是有常数更小的做法，我们直接用两个 set 维护 \(f_{i, 0/1}\) 中有哪些值为 1，转移 1，3 就是什么都不干或者 clear，转移 2，4 就是查询 \([a_i - d, a_i + d]\) 中有没有数然后插入一个新数，都是好维护的。
关于输出方案，先找到一个为 1 的 \((n, j, d)\)。我们发现转移 1，3 形式很好，可以不用记录。那么我们再每次转移 2，4 时记录一下 \(pre_{i, 0/ 1}\) 就行。如果一个 \(i\) 的 pre 是 0 或者此时的 \(j \ne i - 1\) 的话，就意味着它是由转移 1，3 而来的，直接跳到 \((i - 1, j, d)\)，否则我们跳到 \((i - 1, pre_{i, d}, d \oplus 1)\)。
时间复杂度 \(O(n \log n \log V)\)。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 2e5 + 5;
int pre[N][2], a[N], n;
char ans[N];
struct node{int vl, id;bool operator < (const node &b) const {return vl < b.vl;}
};
set<node> s[2];
bool check(int k){for(int i : {0, 1}) s[i].clear(), s[i].insert({a[1], 1});for(int i = 2; i <= n; ++i){bool fl[2] = {0};for(int j : {0, 1}){pre[i][j] = 0;auto itl = s[j ^ 1].lower_bound({a[i] - k, 0}), itr = s[j ^ 1].upper_bound({a[i] + k, 0});if(itl != itr){fl[j] = 1;pre[i][j] = itl -> id;}}if(abs(a[i] - a[i - 1]) > k) s[0].clear(), s[1].clear();for(int j : {0, 1}){if(fl[j]) s[j].insert({a[i - 1], i - 1});}}return s[0].size() || s[1].size();
}
int main(){cin.tie(nullptr)->sync_with_stdio(0);int T, op;cin >> T >> op;while(T--){cin >> n;for(int i = 1; i <= n; ++i) cin >> a[i];int l = 1, r = 1e9;while(l < r){int mid = (l + r) >> 1;if(check(mid)) r = mid;else l = mid + 1;}cout << l;if(op == 1){cout << '\n';check(l);int p, d;if(!s[0].empty()) p = s[0].begin() -> id, d = 0;else p = s[1].begin() -> id, d = 1;for(int i = n; i >= 2; --i){ans[i] = (d ? 'R' : 'L');if(p == i - 1 && pre[i][d]) p = pre[i][d], d ^= 1;}for(int i = 2; i <= n; ++i) cout << ans[i];}cout << '\n';}return 0;
}

T4 - 树上操作(Qoj12402)

题目描述

小 Z 得到了两棵均包含 \(n\) 个节点的无根树 \(T_1,T_2\)，节点编号均为 \(1\sim n\)，现在他想通过一些树上操作将 \(T_1\) 变成 \(T_2\)，一次树上操作如下：

选择四个互不相同的正整数 \(A,B,C,D\)，满足 \((A,B),(B,C),(C,D)\) 之间均有边直接相连，换言之，需要选择一条长为 \(3\) 的简单路径。
将三条边 \((A,B),(B,C),(C,D)\) 删去，并添加新的三条边 \((u_1,v_1),(u_2,v_2),(u_3,v_3)\)，其中这三条边的端点均来自于集合 \(\{A,B,C,D\}\)。

现在小 Z 希望你能帮助他构造一种操作方案，使树 \(T_1\) 变化为 \(T_2\)，或者告诉他不存在合法的操作方案。

称两棵树相同，当且仅当这两棵树的边集完全相同。

请在 \(n^2\) 的操作次数内完成。

Solution

考虑两颗树都是链的情况。发现这等价于将一个序列排序。我们这个树上操作显然可以完成选两个相邻点，然后交换他们。如果这两个点在中间就把它相邻的四个点都选上，在边界特判一下即可。然后我们就用只依赖邻相交换的冒泡排序即可。这一部分操作次数是 \(\frac{n(n - 1)}{2}\)。
现在考虑 \(T_1\) 不是链，\(T_2\) 是链的情况。这相当于我们要先把 \(T_1\) 变成链。首先如果 \(T_1\) 是菊花，根本找不出四个点做操作，无解。那么现在我们在 \(T_1\) 中找一条极长链（点数 \(\ge 4\)）。那么这条链上会有一些点直接挂在上面，我们考虑把他们移动到链的末尾。注意到，我们可以选一个点和他链上后面的三个点，一次把它向后移动两格。最后如果这个点与链尾差 1 格，那么我们就类似地选它链上相邻的前三个点，把它向后移一格。这样就调整好了。这样的操作次数最多是 \(1 + 1 + 2 + 2 + \cdots + \frac{n}{2} + \frac{n}{2} + \frac{n}{2} = \frac{n^2}{4}\)。
那么现在考虑把 \(T_2\) 由树变为链。发现跟上面的几乎一样，只是倒过来做即可。这里的倒过来并不是指简单的顺序倒序，而是由树变链的情况反推出链变成树的操作序列。注意，我们在变链时，遇到菊花图是没办法的。但是当我们在链变树时，是可以把链变成菊花的，注意特判这一点即可。
这样总的操作次数大概是 \(\frac{n(n - 1)}{2} + 2\times \frac{n^2}{4} = n^2 - \frac{n}{2}\)，可以通过。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e2 + 5;
typedef array<int, 4> ar4;
typedef array<int, 6> ar6;
typedef pair<ar4, ar6> op;
typedef vector<op> vec;
int n, a[N];
struct Graph{set<int> e[N];int rnk[N], p[N], tp, from[N];bitset<N> on;void adde(int u, int v){ e[u].insert(v), e[v].insert(u); }void erae(int u, int v){ e[u].erase(v), e[v].erase(u); }bool operator == (const Graph &b) const{for(int i = 1; i <= n; ++i){if(e[i] != b.e[i]) return 0;}return 1;}void dfs(int u, int fa){rnk[u] = rnk[fa] + 1;for(int v : e[u]){if(v != fa) dfs(v, u);}}void get(){for(int i = 1; i <= n; ++i){if(e[i].size() == 1){dfs(i, 0);return;}}}bool find(int u, int fa){p[++tp] = u;bool fl = 0;for(int v : e[u]){if(v != fa){fl = 1;if(find(v, u)) return 1;}}if(!fl){if(tp >= 4) return 1;}--tp;return 0;}bool tolink(vec &ret, bool f = 0){auto work = [&]{on.reset();for(int i = 1; i <= tp; ++i)on[p[i]] = 1;queue<int> q;for(int i = 1; i <= tp; ++i){for(int v : e[p[i]]) if(!on[v])from[v] = i, q.push(v);}auto forw = [&](int x){int np = from[x];ar4 s = {x, p[np], p[np + 1], p[np + 2]};for(int i = 0; i < 3; ++i) erae(s[i], s[i + 1]);ar6 t = {p[np], p[np + 1], p[np + 1], p[np + 2], p[np + 2], x};for(int i = 0; i < 3; ++i) adde(t[2 * i], t[2 * i + 1]);from[x] = np + 2;if(f == 1) t = {p[np], x, p[np], p[np + 1], p[np + 1], p[np + 2]},s = {x, p[np + 2], p[np + 1], p[np]};ret.push_back(op{s, t});};auto back = [&](int x){int np = from[x];ar4 s = {p[np - 2], p[np - 1], p[np], x};for(int i = 0; i < 3; ++i) erae(s[i], s[i + 1]);ar6 t = {p[np - 2], p[np - 1], p[np - 1], x, p[np - 1], p[np]};for(int i = 0; i < 3; ++i) adde(t[2 * i], t[2 * i + 1]);from[x] = np - 1;if(f == 1)s = {x, p[np - 1], p[np], p[np + 1]},t = {x, p[np], p[np], p[np - 1], p[np], p[np + 1]};ret.push_back(op{s, t});};while(!q.empty()){int u = q.front(); q.pop();while(from[u] < tp - 1) forw(u);if(from[u] == tp - 1){back(u), forw(u);}assert(from[u] == tp);on[u] = 1; p[++tp] = u;for(int v : e[u]){if(!on[v]){from[v] = tp;q.push(v);}} }};if(f == 1){for(int i = 1; i <= n; ++i){if(e[i].size() == n - 1){int u = *e[i].begin(), v = *next(e[i].begin()), w = *next(next(e[i].begin()));erae(i, w); adde(v, w);p[1] = u, p[2] = i, p[3] = v, p[4] = w; tp = 4;ret.push_back({{u, i, v, w}, {u, i, i, v, i, w}});work();return 1;}}}for(int u = 1; u <= n; ++u){if(e[u].size() == 1 && find(u, 0)){work();return 1;}}return 0;}
}e[2];
void trans(Graph &f, Graph &g, vec &ret){f.get(), g.get();for(int i = 1; i <= n; ++i) a[f.rnk[i]] = i;auto swp = [&](int i){ // swap i & i + 1int l = (i == n - 1 ? i - 2 : (i == 1 ? 1 : i - 1));ar4 p = {a[l], a[l + 1], a[l + 2], a[l + 3]};ar6 q;swap(a[i], a[i + 1]);for(int j = 0; j < 3; ++j){q[2 * j] = a[l + j], q[2 * j + 1] = a[l + j + 1];}ret.push_back(op{p, q});};for(int i = 1; i <= n; ++i){for(int j = 1; j < n; ++j){if(g.rnk[a[j]] > g.rnk[a[j + 1]]){swp(j);}}}
}
int main(){cin.tie(nullptr)->sync_with_stdio(0);cin >> n;for(int j : {0, 1}){for(int i = 1; i < n; ++i){int u, v; cin >> u >> v;e[j].adde(u, v);}}vec ans, o;if(!e[0].tolink(ans)){if(e[0] == e[1]) cout << "YES\n0\n";else cout << "NO\n";return 0;}e[1].tolink(o, 1);trans(e[0], e[1], ans);reverse(o.begin(), o.end());ans.insert(ans.end(), o.begin(), o.end());cout << "YES\n" << ans.size() << '\n';for(auto [x, y] : ans){for(int i = 0; i < 4; ++i) cout << x[i] << ' ';cout << '\n';for(int j = 0; j < 6; ++j) cout << y[j] << ' ';cout << '\n';}return 0;
}