OIFC 2025.11.21 模拟赛总结

快考 NOIP 了。

T1 构造题

题目描述

给定一个正整数 \(n\)，请构造一个长度为 \(n\) 的排列 \(p\)，满足 \(\forall i \in [1, n - 1]\)，\(p_i \oplus p_{i + 1}\) 不是质数，或报告无解。

数据范围：\(1 \leq \sum n \leq 5 \times 10^6\)，\(1 \leq T \leq 10^5\)。

题解

如果两个数模 \(4\) 同余，则其二进制最后两位是一样的，因此这两个数异或结果是 \(4\) 的倍数！

因此，我们可以把 \(1 \sim n\) 分成 \(4\) 类，只需考虑如何合并这 \(4\) 类。

先说结论：假设 \(P_r(n)\) 表示 \([1, n]\) 中 \(\bmod 4 = r\) 的数从小到大排序得到的序列，则构造：

\[rev(P_1(n)) + rev(P_3(n)) + P_2(n) + P_0(n) \]

合法。其中 \(rev\) 表示把整个序列翻转，即倒序。

简单证明一下：对于第一个 \(+\)，显然 \(1\) 和大奇数异或是大偶数；对于第二个 \(+\)，显然 \(3 \oplus 2 = 1\)；对于第三个 \(+\)，两个偶数异或一定得到偶数，而且当 \(n\) 足够大的时候，异或结果一定大于 \(2\)，所以这样构造在 \(n\) 比较大的时候是正确的。

简单尝试一下，可以发现 \(n \geq 10\) 的时候可以直接这样构造。对于 \(n < 10\) 的情况，直接跑 dfs 暴搜即可。

参考代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
inline int read(){int x = 0, f = 1;char ch = getchar();while(!isdigit(ch)){if(ch == '-') f = -1;ch = getchar();}while(isdigit(ch)){x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48);ch = getchar();}return x * f;
}
inline void write(int x){if(x < 0) putchar('-'), x = -x;if(x > 9) write(x / 10);putchar(x % 10 + '0');return;
}
signed main(){freopen("constructive.in", "r", stdin);freopen("constructive.out", "w", stdout);int T = read();while(T--){int n = read();if(n < 10){if(n == 1) puts("1");if(n == 2) puts("-1");if(n == 3) puts("-1");if(n == 4) puts("-1");if(n == 5) puts("1 5 3 2 4");if(n == 6) puts("-1");if(n == 7) puts("1 5 3 7 6 2 4");if(n == 8) puts("1 5 3 2 4 8 6 7");if(n == 9) puts("4 2 6 7 3 5 1 8 9");continue;}for(int i = n; i >= 1; i--) if(i % 4 == 1) write(i), putchar(' ');for(int i = n; i >= 1; i--) if(i % 4 == 3) write(i), putchar(' ');for(int i = 1; i <= n; i++) if(i % 4 == 2) write(i), putchar(' ');for(int i = 1; i <= n; i++) if(i % 4 == 0) write(i), putchar(' ');putchar('\n');}return 0;
}