数学的大厦（四）：减法与整数

为了解决旧领域内“不自然”或“不可能”的问题，我们必须构想并构建一个更广阔的新领域。自然数宇宙的边界，正是被“减法”这道鸿沟给清晰地勾勒了出来。

在我们的自然数世界里，加法 a + b 和乘法 a * b 是畅通无阻的。无论你挑哪两个自然数，结果永远是一个确定的自然数。我们说自然数对加法和乘法是 “封闭的”。但减法 a - b 呢？

当 a ≥ b 时，一切安好：5 - 3 = 2，结果还是个自然数。但当 a < b 时，比如 3 - 5，我们就遇到了未定义的警报！在自然数的世界里，不存在任何一个成员可以作为这个运算的结果。所以，减法在自然数集上不是一个“全程函数”，它存在定义域缺陷。

怎么解决？数学家们再次施展了他们的“思维黑客”本领。他们从现实世界，比如记账，中偷来了一个绝妙的灵感：欠债。这个方案的核心思想是，我们不再把数字看作孤立的点，而是看作一个“状态”或一个“差异”。

具体怎么用集合来无中生有呢？一个经典的方法是使用有序对来构造新数：

初步的构想，我们把整数想象成 (自然数a, 自然数b)，但这个有序对不代表 a - b 的结果，因为结果可能还不存在，而是代表“a - b”这个概念本身。比如，(5, 3) 就代表 5 - 3。那么，(3, 5) 就代表 3 - 5，也就是我们熟悉的 -2。

问题是，表示法不唯一！(5, 3) 和 (6, 4) 都等于 2。(3, 5) 和 (1, 3) 都等于 -2。

解决方案，引入等价关系！我们宣布：两个有序对 (a, b) 和 (c, d) 是“等价的”，当且仅当 a + d = b + c。检查一下：(5, 3) 和 (6, 4) 等价吗？因为 5 + 4 = 3 + 6 (9=9)，所以等价。看，我们没有用减法，只用自然数的加法就定义了这个等价关系！

最后，定义整数！ 一个整数，就是所有在这种等价关系下彼此等价的有序对的集合，也就是一个等价类。整数 +2 就是 { (2,0), (3,1), (4,2), (5,3), ... } 这个巨大的集合。 整数 -2 就是 { (0,2), (1,3), (2,4), (3,5), ... } 这个巨大的集合。整数 0 就是 { (0,0), (1,1), (2,2), ... }。

于是，我们成功了！ 我们从一个不完美的自然数世界出发，利用有序对和等价关系这两个强大的工具，构建了一个新的、更广阔的数学宇宙——整数集 ℤ。在这个新宇宙里，减法终于成为了一个畅通无阻的“全程函数”。

对减法的追求，正是我们从自然数迈向整数的伟大动力。接下来，当我们想在整数世界里自由地做除法时，我们就会遭遇同样的困境，并再次启程，去构建那个更广阔、更优美的有理数宇宙。