Luogu P6234 [eJOI 2019] T 形覆盖题解 [ 紫 ] [ 图论建模 ] [ 分类讨论 ] [ 基环树 ]

news/2025/11/19 19:27:13/文章来源:https://www.cnblogs.com/zhr0102/p/19243512

T 形覆盖

~~场上没有注意到转化，对着基环树和树的部分暴力图论建模，爆肝 3h 大分讨以 7.88KB 的代码成功通过。~~

Sol.1 暴力分讨

下文中，我们称 T 形的中心为黑点，其余格子为白点。

从部分分做法开始想，当 \(\min dis\le 2\) 的时候：

容易发现，有影响的结构有三种：

切比雪夫距离为 \(1\)，斜角放置。
切比雪夫距离为 \(1\)，横行 / 纵列放置。
切比雪夫距离为 \(2\)，横行 / 纵列放置。

无影响的结构有两种，除了横行 / 纵列放置的以外切比雪夫距离等于 \(2\) 的全是没有影响的。手模可以发现，当切比雪夫距离大于 \(2\) 时，无论怎么摆放两者之间均无影响。

注意到切比雪夫距离为 \(1\) 的结构合法的覆盖范围一定唯一，我们显然可以特判掉。考虑切比雪夫距离为 \(2\) 且横行 / 纵列放置的怎么处理。我们先对连成整段的考虑，如下图：

发现当改变框内的 T 形朝向，并强制要求十字架空出来的那一格不被覆盖时，会导致左右两侧的 T 形方向全部被确定。于是我们考虑图论建模，对切比雪夫距离为 \(2\) 且横行 / 纵列放置的两个点之间连一条边。则上述我们考虑的情况就变成了一条链。

而对于树 / 基环树 / 一般图的情况，可以见下图：

因为基环树 / 一般图的构造方案画出来太复杂了，这里可能需要读者自己手模。总之就是容易发现，基环树上覆盖的范围一定是唯一的，是所有黑点曼哈顿距离不超过 \(\bm{1}\) 的邻域之并；而如果图上存在多个环，那么这种情况一定无解。

对于一般树的情况，我们发现这和链的情况是差不多的，都是钦定了一个 T 形的方向，然后其余 T 形的方向也随之确定了。

于是用并查集维护连通块内的边数，根据边数判断连通块的类型：

一般图：直接无解。
基环树：所有黑点曼哈顿距离不超过 \(1\) 的邻域之并。
普通树：先求出所有黑点曼哈顿距离不超过 \(1\) 的邻域之并，然后删掉连通块内的最小值即可，因为总是要钦定掉一个 T 形的方向的。

注意特判四个边界与其余两个有影响的结构对基环树 / 普通树的影响，如果基环树被他们影响了（邻域与被影响的区域有交），则直接无解；如果树被他们影响了（邻域与被影响的区域有交），则变成基环树的处理方式。

就此模拟，若视并查集为线性，则时间复杂度为 \(O(n)\)。

下面为考场代码，脑子可能不是很清晰，细节也可能与上述做法不同。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1000005, inf = 0x3f3f3f3f;
const int gox1[] = {1, 0};
const int goy1[] = {0, 1};
const int gox2[] = {-1, 0, 0, 1, 1, 2};
const int goy2[] = {0, -1, 1, -1, 1, 0};
const int gox3[] = {-1, -1, 0, 0, 1, 1};
const int goy3[] = {0, 1, -1, 2, 0, 1};
const int gox4[] = {1, 1};
const int goy4[] = {1, -1};
const int gox5[] = {-1, 0, 0, 1, 1, 2};
const int goy5[] = {0, -1, 1, 0, 2, 1};
const int gox6[] = {-1, 0, 0, 1, 1, 2};
const int goy6[] = {0, -1, 1, -2, 0, -1};
const int gox7[] = {-2, 2, 0, 0};
const int goy7[] = {0, 0, -2, 2};
const int gox8[] = {-1, 1, 0, 0};
const int goy8[] = {0, 0, -1, 1};
const int goys[] = {1, 0, 3, 2};
int n, m, a[N], ans;
bitset<N> b, ban, con;
int h[N], eidx;
struct Edge{int v, ne, frm;
} e[2 * N];
void add(int u, int v, int frm)
{e[++eidx] = {v, h[u], frm};h[u] = eidx;
}
bool legal(int x, int y)
{return (0 <= x && x < n && 0 <= y && y < m);
}
int getid(int x, int y)
{return x * m + y;
}
void nosol()
{cout << "No";exit(0);
}
struct DSU{int fa[N], tag[N];void init(){for(int i = 0; i < N; i++) fa[i] = i;}int findf(int x){if(fa[x] != x) fa[x] = findf(fa[x]);return fa[x];}void combine(int x, int y){int fx = findf(x), fy = findf(y);if(fx == fy) return;fa[fx] = fy;tag[fy] += tag[fx];if(tag[fx] >= 2) nosol();}
} dsu;
void Case1()
{for(int i = 0; i < n; i++){for(int j = 0; j < m; j++){if(b[getid(i, j)] == 0) continue;for(int p = 0; p < 2; p++){int tx = i + gox1[p], ty = j + goy1[p];if(!legal(tx, ty)) continue;if(b[getid(tx, ty)] == 0) continue;if(p == 0){for(int k = 0; k < 6; k++){int kx = i + gox2[k], ky = j + goy2[k];if(!(legal(kx, ky) && ban[getid(kx, ky)] == 0)) nosol();ban[getid(kx, ky)] = 1;ans += a[getid(kx, ky)];    con[getid(kx, ky)] = 1;}}else{for(int k = 0; k < 6; k++){int kx = i + gox3[k], ky = j + goy3[k];if(!(legal(kx, ky) && ban[getid(kx, ky)] == 0)) nosol();ban[getid(kx, ky)] = 1;ans += a[getid(kx, ky)];    con[getid(kx, ky)] = 1;}}con[getid(i, j)] = con[getid(tx, ty)] = 1;}}}
}
void Case2()
{for(int i = 0; i < n; i++){for(int j = 0; j < m; j++){if(b[getid(i, j)] == 0) continue;for(int p = 0; p < 2; p++){int tx = i + gox4[p], ty = j + goy4[p];if(!legal(tx, ty)) continue;if(b[getid(tx, ty)] == 0) continue;if(p == 0){for(int k = 0; k < 6; k++){int kx = i + gox5[k], ky = j + goy5[k];if(!(legal(kx, ky) && ban[getid(kx, ky)] == 0)) nosol();ban[getid(kx, ky)] = 1;ans += a[getid(kx, ky)];    con[getid(kx, ky)] = 1;}}else{for(int k = 0; k < 6; k++){int kx = i + gox6[k], ky = j + goy6[k];if(!(legal(kx, ky) && ban[getid(kx, ky)] == 0)) nosol();ban[getid(kx, ky)] = 1;ans += a[getid(kx, ky)];   con[getid(kx, ky)] = 1; }}con[getid(i, j)] = con[getid(tx, ty)] = 1;}}}
}
void Build_Graph()
{for(int i = 0; i < n; i++){for(int j = 0; j < m; j++){int u = getid(i, j);if(b[u] == 0) continue;for(int p = 0; p < 4; p++){int tx = i + gox7[p], ty = j + goy7[p];int v = getid(tx, ty);if(!legal(tx, ty)) continue;if(b[v] == 0) continue;if(con[u] || con[v]) continue;if(u < v){add(u, v, p);add(v, u, goys[p]);if(dsu.findf(u) == dsu.findf(v)){if(dsu.tag[dsu.findf(u)]) nosol();dsu.tag[dsu.findf(u)]++;}else dsu.combine(getid(i, j), getid(tx, ty));}}}}    
}
void Case3()
{for(int i = 0; i < n; i++){for(int j = 0; j < m; j++){int u = getid(i, j);int anc = dsu.findf(u);if(!dsu.tag[anc]) continue;for(int k = 0; k < 4; k++){int tx = i + gox8[k], ty = j + goy8[k];if(!legal(tx, ty)) nosol();int v = getid(tx, ty);if(ban[v]) nosol();if(con[v]) continue;ans += a[v];con[v] = 1;}}}
}
int fsm[N], fmx[N], qd[N];
void Case4()
{for(int i = 0; i < n; i++){for(int j = 0; j < m; j++){int u = getid(i, j);int anc = dsu.findf(u);if(dsu.tag[anc]) continue;if(con[u]) continue;if(!b[u]) continue;for(int k = 0; k < 4; k++){int tx = i + gox8[k], ty = j + goy8[k];if(!legal(tx, ty)){qd[anc]++;if(qd[anc] >= 2) nosol();continue;}int v = getid(tx, ty);if(ban[v]){if(qd[anc] >= 2) nosol();qd[anc]++;continue;}if(con[v]) continue;fsm[anc] += a[v];con[v] = 1;}            }}for(int i = 0; i < n; i++){for(int j = 0; j < m; j++){int u = getid(i, j);int anc = dsu.findf(u);if(qd[anc] == 1){if(u == anc) ans += fsm[u];continue;}if(dsu.tag[anc]) continue;if(con[u]) continue;if(!b[u]) continue;multiset<int> s;ans -= fmx[anc];int res = fsm[anc];for(int k = 0; k < 4; k++){int tx = i + gox8[k], ty = j + goy8[k];int v = getid(tx, ty);res -= a[v];s.insert(a[v]);}for(int k = 0; k < 3; k++){auto it = prev(s.end());res += *it;s.erase(it);}fmx[anc] = max(fmx[anc], res);ans += fmx[anc];}}
}
int main()
{ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);dsu.init();cin >> n >> m;for(int i = 0; i < n; i++)for(int j = 0; j < m; j++)cin >> a[getid(i, j)];int kcnt;cin >> kcnt;while(kcnt--){int x, y;cin >> x >> y;b[getid(x, y)] = ban[getid(x, y)] = 1;ans += a[getid(x, y)];}// dis = 1, 直接相邻Case1();// dis = 1, 斜角相邻Case2();// dis = 2, 直接横向, 不考虑斜向// 建图Build_Graph();// 基环树，直接确定所有点Case3();// 普通树Case4();cout << ans;return 0;
}