20251108OIFHA

T1

赛时未考虑到最大值不能取模，饮恨败北了...

直接顺着题目思路往下想就可以了.

首先考虑询问求的是两个弱连通分量(忽略边的方向的连通块)之间连边,再求最长路径的期望.容易把问题转化成预处理出以这个点为起点的最长路径长度\(dis[x]\)和以这个点为终点的最长路径长度\(en[x]\),再遍历两个弱连通分量内的所有点\(x\),\(y\),再求\(\sum_{x} \sum_{y} min(原最大值,en[x]+dis[y])\),但这样做的时间复杂度为\(O(qn^2)\),但看到有\(min\)操作,于是可以用双指针优化或二分优化(具体见代码).

那么难点在于如何求出\(en[x]\)和\(dis[x]\).由于一个强连通分量内的点可以相互到达且可以重复走同一条边,那么一个点先走完它所属的强连通分量一定不劣.于是先缩点得到一个\(DAG\),即可得到\(en[x]\).建反图再做拓扑排序即可得到\(dis[x]\).而原最大值即为\(Max_{dis[x]}\).

注意空间只有16mib,是"Impossib1e."不是"Impossible.",求最大值过程中不能
取模.

代码如下(用双指针还是比二分要快的):

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long longint n, m;
const int mod = 100000007;
int qpow(int xx, int yy) {long long ans = 1ll, x = xx, y = yy;while (y) {if (y % 2ll == 1ll) {ans *= x;ans %= mod;}y /= 2;x *= x;x %= mod;}return ans;
}
struct QQ {int x, y, val, id, v;
} Q[3600];
bool cmp(int x, int y) { return x > y; }
struct E1 {int v, nxt, to;
} e[55000], e2[55000], E[155000];
struct EC {int x, y, v;bool operator<(const EC &h) const {if (x == h.x) {if (y == h.y) {return v > h.v;}return y < h.y;}return x < h.x;}bool operator==(const EC &h) const { return (x == h.x) && (y == h.y); }
} E1[155000];
int t1, t2;
int head[3600], cnt;
int head2[3600], cnt2;
int Head[3600], Cnt;
void add(int x, int y, int v) {cnt++;e[cnt].to = y;e[cnt].v = v;e[cnt].nxt = head[x];head[x] = cnt;
}
void add3(int x, int y, int v) {cnt2++;e2[cnt2].to = y;e2[cnt2].v = v;e2[cnt2].nxt = head2[x];head2[x] = cnt2;
}
void add2(int x, int y, int v) {Cnt++;E[Cnt].to = y;E[Cnt].v = v;E[Cnt].nxt = Head[x];Head[x] = Cnt;
}
int col[3600], dfn[3600], low[3600], st[3600], tmp, kind;
int v[3600], dis[3600], en[3600];
deque<int> q;
// e
void dfs(int x) {dfn[x] = low[x] = ++tmp;st[x] = 1;q.push_back(x);for (int i = head[x]; i; i = e[i].nxt) {int to = e[i].to;if (!dfn[to]) {dfs(to);low[x] = min(low[x], low[to]);} else if (st[to]) {low[x] = min(low[x], dfn[to]);}}if (dfn[x] == low[x]) {++kind;while (!q.empty()) {int t = q.back();q.pop_back();st[t] = 0;col[t] = kind;if (t == x) {break;}}}
}
// e2
int ru[3600];
queue<int> d;
void tp1() {while (!d.empty()) d.pop();for (int i = 1; i <= kind; i++) {if (ru[i] == 0)d.push(i);}while (!d.empty()) {int tp = d.front();d.pop();for (int i = head2[tp]; i; i = e2[i].nxt) {int to = e2[i].to;en[to] = max(en[to], en[tp] + e2[i].v + v[tp]);ru[to]--;if (!ru[to])d.push(to);}}
}
void tp2() {while (!d.empty()) d.pop();for (int i = 1; i <= kind; i++) {if (ru[i] == 0)d.push(i);}while (!d.empty()) {int tp = d.front();d.pop();for (int i = head2[tp]; i; i = e2[i].nxt) {int to = e2[i].to;dis[to] = max(dis[to], dis[tp] + e2[i].v + v[tp]);ru[to]--;if (!ru[to])d.push(to);}}
}
int vis[3600], op;
vector<int> s[3600][2];
// E
void li(int x) {vis[x] = op;s[op][0].push_back(en[col[x]]);s[op][1].push_back(dis[col[x]]);for (int i = Head[x]; i; i = E[i].nxt) {int to = E[i].to;if (!vis[to]) {li(to);}}
}
int an = 0;
int query(int x, int y, int va) {int sx = s[x][0].size() - 1, sy = s[y][1].size() - 1;int num = ((sx + 1) * (sy + 1)) % mod, t = 0, sum = 0, su = 0;for (int i = 0; i <= sx; i++) {while (s[y][1][t] + s[x][0][i] + va > an && t <= sy) {su += s[y][1][t];su %= mod;t++;}if (t == sy && s[y][1][t] + s[x][0][i] + va > an) {sum += (su + ((sy + 1) * (s[x][0][i] + va) % mod) % mod) % mod;} else {sum += ((sy - t + 1) * (an % mod)) % mod + (su + (t * (s[x][0][i] + va) % mod) % mod) % mod;}sum %= mod;}return sum * qpow(num, mod - 2) % mod;
}
void init() {// edgecnt = cnt2 = Cnt = 0;memset(head, 0, sizeof(head));memset(head2, 0, sizeof(head2));memset(Head, 0, sizeof(Head));// othertmp = 0, kind = 0, op = 0, an = 0, t1 = 0;memset(col, 0, sizeof(col));memset(dfn, 0, sizeof(dfn));memset(low, 0, sizeof(low));memset(st, 0, sizeof(st));memset(v, 0, sizeof(v));memset(dis, 0, sizeof(dis));memset(en, 0, sizeof(en));memset(vis, 0, sizeof(vis));for (int i = 1; i <= 3000; i++) s[i][0].clear(), s[i][1].clear();while (!q.empty()) q.pop_front();
}
void sol() {scanf("%lld%lld", &n, &m);init();for (int i = 1; i <= m; i++) {int x, y, v;scanf("%lld%lld%lld", &x, &y, &v);add(x, y, v);add2(x, y, v);add2(y, x, v);}for (int i = 1; i <= n; i++) {if (!dfn[i]) {dfs(i);}}for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = head[i]; j; j = e[j].nxt) {int to = e[j].to;if (col[to] != col[i]) {E1[++t1] = { col[i], col[to], e[j].v };} else {v[col[i]] += e[j].v;}}}sort(E1 + 1, E1 + 1 + t1);memset(head2, 0, sizeof(head2));memset(ru, 0, sizeof(ru));cnt2 = 0;for (int i = 1; i <= t1; i++) {if (E1[i] == E1[i - 1])continue;ru[E1[i].y]++;add3(E1[i].x, E1[i].y, E1[i].v);}tp1();memset(ru, 0, sizeof(ru));memset(head2, 0, sizeof(head2));cnt2 = 0;for (int i = 1; i <= t1; i++) {if (E1[i] == E1[i - 1])continue;ru[E1[i].x]++;add3(E1[i].y, E1[i].x, E1[i].v);}tp2();for (int i = 1; i <= kind; i++) {dis[i] += v[i], en[i] += v[i];an = max(an, dis[i]);}for (int i = 1; i <= n; i++) {if (!vis[i]) {op++;li(i);}}for (int i = 1; i <= op; i++) {sort(s[i][0].begin(), s[i][0].end());sort(s[i][1].begin(), s[i][1].end(), cmp);}int qnum;scanf("%lld", &qnum);for (int i = 1; i <= qnum; i++) {int x, y, v;scanf("%lld%lld%lld", &x, &y, &v);if (vis[x] == vis[y]) {printf("Impossib1e.\n");continue;}printf("%lld\n", query(vis[x], vis[y], v));}
}
signed main() {int T;scanf("%lld", &T);while (T--) {sol();}
}

T2

先观察变化规律.容易发现KXP将P放到开头就变成了PKX,再把X放到开头就变成了XPK。由此可以得出它们是循环变换的。那么这就有一个很好的的性质:我们设KXP,PKX,XPK为"*** "(因为它们可以互相转换,所以具体是什么不重要),那么*** K/P/X可以变为K/P/X***(可以自行枚举证明)。

解决字符串匹配有两种常见方法,一是从左往右让\(S\)和\(T\)一一匹配,匹配完成的部分不去管它。另一种是若操作可逆，则将\(S\)和\(T\)变为同一个字符串，即可证明两个字符串是匹配的。

本题用方法一不好处理。注意到操作可逆，且有开头提到的性质，于是思考方法二。我们可以发现，只有*** 是可以随便动的，那我们让所有*** 移到后面，在比较\(S\)和\(T\)剩余不可移动部分是否相等，即可得到是否匹配。

那么如何把所有*** 求出来呢？（记得考虑一个*** 移走后两边有可能可以重新拼成一个 *** ）。由于*** 长度只有3，那么一种优秀的写法是用栈来维护，从左往右枚举，每次遇到一个数，看一下它和栈顶两个字符能否拼成***，如果可以就把它们弹出栈，否则压入当前字符。

代买实现较为简单，就不贴了。

T3

太菜了

T4

太菜了