Problem
已知函数 $ f(x) =x \ln x - a x^2 -x +a \hspace {0.1cm} (a\in R)$ .
若 \(f(x)\) 有两个极值点 \(x_1,x_2(x_1<x_2)\) ，证明：当 $ \lambda \geq 1$ 时， $ \ln x_1 + \lambda \ln x_2 > 1+\lambda$ .
分析
分析后发现 $ x_2 >e $ ，则原不等式可以转化为证明 $ \lambda =1$ 时成立。
所谓“极值点偏移的简单应用”。
Solution
由题 $ f'(x)=g(x) =\ln x +1 -2ax -1 = \ln x -2ax$ .
令 $ g(x) =0$ ，得 $a=\frac{\ln x}{2x},\frac{\ln x_1}{x_1} =\frac{\ln x_2}{x_2} $ .
设 $ h(x)=g'(x)=\frac{1}{2} ·\frac{1-\ln x}{x^2} $ ，可得 $ h(e)=0 ,g(x)_{max}=g(e)=\frac{1}{2e}$ .
且 $ 0<x_1<e<x_2 $ .
设 $ p(x)=\frac{x}{e^x} $ ，则 $ p(\ln x_1) =p(\ln x_2)$ .
设 $q(t)=p(1+t)-p(1-t) $ ，则
\(\forall t \in (0,1) ,q'(t)>0 ,q(t)>q(0)=0\) ，
即 $ p(1+t) >p(1-t) $ ， $ p(2-\ln x_1)>p(\ln x_1) =p(\ln x_2) $ .
因为 \(p(x)\) 在 $ (1,+\infin) $ 上单调递减，所以 $ 2-\ln x_1 <\ln x_2 $.
$\therefore \ln x_1 +\ln x_2 >2 $.
source:模拟卷十
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