P10627 [JOI Open 2024] 中暑 / Heat Stroke

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P10627 [JOI Open 2024] 中暑 / Heat Stroke - 洛谷 (luogu.com.cn)

Solution

限制：在一个人坐飞机之前，两边的医院必须住满。

先考虑 Sub4，每条路上只有前两个人有用，所以记录一下他们的决策（向左，向右，坐飞机），然后分类讨论转移到下一条道路。

当 \(c_i>1\) 时，上面的做法直接变成指数级的了。首先缩减状态，在对一条道路上的人决策时最大的难点是不知道两边的医院是否已经住满，所以考虑提前钦定。

设 \(f_{i,j,k}\) 为考虑前 \(i\) 条道路，第 \(i\) 条道路向右边送了 \(j\) 个，且 \(i+1\) 医院在 \(k\) 时刻就住满了的最大值。\(k=m+1\) 表示没有住满。

设 \(S_{i,j}\) 为第 \(i\) 条道路前 \(j\) 个时刻出现了多少人，\(t_{i,j}\) 为第 \(i\) 条道路第 \(j\) 个人什么时候出现。

从 \(f_{i-1,j,k}\) 转移到 \(f_{i,j',k'}\)，分类讨论：

• \(k\le k'\)。

  设 \(x=S_{i,k'},y=S_{i,m}-S_{i,k'}\)。那么这 \(x\) 个人都进了医院，\(y\) 个人都坐了飞机。

  其中 \(j'\) 个人向右走，\(x-j'\) 个人向左走，得到 \(j+x-j'=C_i\)，于是 \(j\) 是固定的。

  还需要限制 \(t_{i,x-j'}\le k\)，即 \(t_{i,C_i-j}\le k\)。前缀和优化转移。

• \(k>k'\)。

  \(x=S_{i,k},y=S_{i,m}-S_{i,k}\)。

  还需要限制 \(t_{i,x-j'}\le k\)，即 \(t_{i,C_i-j}\le k\)。前缀和优化转移。

• \(k=m+1\)。

  没有人会坐飞机。

  得到 \(j+x-j'\le C_i\)，固定 \(j'\) 时 \(j\) 是一段前缀，前缀和优化转移。

状态总数 \(O(n^2)\)，转移 \(O(1)\)。复杂度 \(O(n^2)\)。

int n,c[N],m,a[N];
int cnt[N][N],tim[N][N],tot[N],lim[N];
int f[2][N][N],g[2][N][N],h[2][N];signed main(){//静心，long long，数组大小，空间，复杂度，进包，格式read(n);for(int i=1;i<=n;i++) read(c[i]);read(m);for(int i=1;i<=m;i++){read(a[i]);++tot[a[i]];tim[a[i]][tot[a[i]]]=i;++cnt[a[i]][i];}for(int i=1;i<=n;i++){lim[i]=min(c[i+1],tot[i]);for(int j=1;j<=m+1;j++)cnt[i][j]+=cnt[i][j-1];for(int j=tot[i]+1;j<=8000;j++) tim[i][j]=m+5;}memset(f,-0x3f,sizeof(f));memset(g,-0x3f,sizeof(g));memset(h,-0x3f,sizeof(h));for(int i=0;i<=m+1;i++) f[0][0][i]=0,h[0][i]=0;for(int i=tim[1][c[1]];i<=m+1;i++) g[0][0][i]=0;for(int i=1;i<=n;i++){int ii=i&1;for(int j=0;j<=lim[i];j++){memset(f[ii][j],-0x3f,sizeof(f[ii][j]));memset(g[ii][j],-0x3f,sizeof(g[ii][j]));}memset(h[ii],-0x3f,sizeof(h[ii]));for(int j=0;j<=lim[i-1];j++){for(int k=0;k<=m;k++){if(tim[i][c[i]-j]>k) continue;int x=cnt[i][k],y=cnt[i][m+1]-cnt[i][k];int tj=j-c[i]+x;if(tj<0||tj>lim[i]||k<tim[i][tj]) continue;Ckmax(f[ii][tj][k],f[ii^1][j][k]+y);}}for(int j=0;j<=lim[i];j++){for(int k=m;k>=tim[i][j];k--)Ckmax(f[ii][j][k],f[ii][j][k+1]);}for(int j=0;j<=lim[i];j++){for(int k=tim[i][j];k<=m+1;k++){int x=cnt[i][k],y=cnt[i][m+1]-cnt[i][k];int tj=c[i]-x+j;if(tj>=0) Ckmax(f[ii][j][k],h[ii^1][min(tj,lim[i-1])]);if(tj>=0&&tj<=lim[i-1]) Ckmax(f[ii][j][k],g[ii^1][tj][k]+y);}}for(int j=0;j<=lim[i];j++){if(!j) h[ii][j]=f[ii][j][m+1];else h[ii][j]=max(h[ii][j-1],f[ii][j][m+1]);for(int k=tim[i][j];k<=m+1;k++){if(k) g[ii][j][k]=g[ii][j][k-1];if(tim[i+1][c[i+1]-j]<=k) Ckmax(g[ii][j][k],f[ii][j][k]);}}}int ans=0;for(int i=0;i<=m;i++)Ckmax(ans,f[n&1][0][i]);printf("%d\n",ans);return 0;
}