2025/11/09 LGNOIpR23

如果不是直接写 100pts 做法，就是赛时不会，或者对 AC 做法有很大启发。

T1

题意简述

求 \(a(1+p+pq)=n\) 整数解数量，其中 \(n\) 是给定的， \(p,q\) 均不能取 \(1\)。

sol

考虑试除法，一遍试出所有的 \(a\)，然后求出 \(1+p+pq=\frac{n}{a}\)，同样可以试除法枚举。

时间复杂度 \(O(\sqrt{n})\)。

T2

题意简述

给定一个平面坐标系，在一些坐标上有不同颜色的点，对于一个长宽可为 \(1\) 的矩形，定义其权值为矩形内部颜色为 \(0\) 与颜色为 \(1\) 的点的数量的乘积，包括矩形边界。

求所有矩形的权值和。

sol

70pts

考虑枚举所有 \(0/1\) 点对，考虑有多少个矩形能够被这个点对贡献。

100pts

可以用树状数组维护，枚举 \(1\) 点，考虑其它所有 \(0\) 点对它的贡献。

T3

题意简述

有一些操作，它只对部分连续的时间有效，在 \(1\) 到 \(n\) 的时间分别出现了一个区间。操作是进行若干次切割操作，每次会给出 \(x,s,t\)，表示对 \(s\le i\le t\) 的区间 \([l_i,r_i]\) 从 \(x\) 处切割，保留较长的一段，两段相等时保留左侧的。

这些操作按照输入顺序执行，所有操作都会在有效期间立即生效，且每个区间只会在存在一个时间，求每个区间的最终左右端点。

sol

受到到TEST_152启发，考虑对操作扫描线，把整个区间分成三半，有 \(\frac{1}{3}\) 的概率切到中间部分，\(\frac{2}{3}\) 的概率切到边上两部分。

发现如果只切在中间，最多只用切 \(\log m\) 次。

考虑取中间部分的最小时间戳，记为 \(t\)，在左部分找出最大的满足时间戳小于 \(t\) 的点，这便是执行中间部分操作时的左端点，再在有部分找出最小的满足时间戳小于 \(t\) 的点，这时是执行中间部分操作时的右端点。

然后就正确了。

T4

题意简述

给定一个图，图上有 \(n\) 个点，求在 \(m\) 次连边后，不存在孤立点的期望，结果对 \(P\) 取模。

sol

30pts

直接考虑动态规划。

代码段如下：

ll bs = dp[i][t] * inv % md;
if (i >= 1 && j >= 1) {ll cnt = i * j % md;dp[i + 1][t + 1] = (dp[i + 1][t + 1] + bs * cnt) % md;
}
if (j >= 2) {ll cnt = j * (j - 1) / 2 % md;dp[i + 2][t + 1] = (dp[i + 2][t + 1] + bs * cnt) % md;
}