25.11.7联考题解

A

简单题，考虑一个串变化后不同并且计数不重不漏只须保证区间两端不同即可。

B

简单贪心。shopping plans 的超级弱化版。

C

设 \(f_i\) 表示被分在 \(\le i\) 的 L 型的方案数，显然有 \(f_i=\left(\sum_{j=x-i}^{x-1}{n-i\choose j}\right)\left(\sum_{j=y-i}^{y-1}{n-i\choose j}\right)\times 4^{i-1}\)。原因是我们考虑从大到小使用 L 型，那么每次操作就是干掉一行一列，然后这个就是一个基础的组合数。考虑如何 \(\mathcal O(n)\) 求上面每个 \(f_i\)，注意到每次上指标 +1，下指标 +1，他们的变化是 \(\mathcal O(1)\) 级别的。我们考虑把一个 \(f_i\) 的系数放在杨辉三角里面，注意到如果每次乘以 2 那么我们只需要减去首尾就能递推。最后答案为 \(f_n\times n-\sum_{i<n} f_i\)。

D

考虑不同的 tp 对应的答案。如果 \(tp=1\) 那么直接就是 \(\text{ans}=\max(0,m-k)\)，其中 \(m\) 为序列逆序对数，因为每次操作总能找到一个相邻的逆序对交换。

现在考虑剩下的情况。我们先考虑 \(tp=2\) 只有 2 操作的时候。注意我们可以操作若干次，每次都可以选择打乱或者就此停止。于是我们考虑一个 dp，设 \(f_{i,j}\) 表示长度为 \(i\) 的随机排列打乱 \(j\) 次的答案。转移考虑每次是否还要进行，设当前逆序对数为 \(t\)，如果 \(t<f_{i,j-1}\) 那么操作一定不优，否则就可以操作。发现我们还不能直接转移，于是设计一个辅助函数 \(g_{i,j}\) 表示长度为 \(i\) 的序列被随机打乱后恰好有 \(j\) 个逆序对的期望。转移 \(g\) 是简单的，有 \(g_{i,j}={\sum_{k<i}g_{i-1,j-k}\over i}\)。我们前缀和优化可以做到 \(\mathcal O(n^3)\)。

现在考虑转移 \(f\)，设 \(p\) 是决策的分界点，则有 \(f_{i,j}=\left(\sum_{k\le p}k\times g_{i,k}\right)+f_{i,j-1}\times\sum_{k=p+1}^{i\choose2}g_{i,k}\)。

现在加入 1 操作，考虑所有的 2 操作一定都在 1 操作前面，否则我们就会做无用功导致答案不优。所以我们只需要稍微更改状态，设 \(f_{i,j}\) 表示长度为 \(i\) 的随机排列按照最优操作做 \(j\) 次的答案。

转移类似，还是先考虑分界点，注意现在的分界点与之前不同，因为停止打乱后我们还可以用操作 1 减少逆序对，于是 \(t<f_{i,j-1}+j\) 的时候我们考虑停止操作 2 否则就可以用。有转移：

\[f_{i,j}=\left(\sum_{k=1}^{p-j}k\times g_{i,j+k}\right)+f_{i,j-1}\times\sum_{k=p+1}^{i\choose2}g_{i,k} \]

于是我们就可以 \(\mathcal O(1)\) 查询了，不过查询前需要快速求逆序对数，于是最后复杂度为 \(\mathcal O(n^3+Tn\log n)\)。