20251027

正睿二十连测

B

时间：\(40min\)。

用个并查集之类的东西维护一下边即可。可惜因为 map 常数巨大 TLE 了 \(8pts\)。

变成 unordered_map 或者加快读都能轻松通过。

C

方向搞错了，瞄了眼题解 \(35min\) 就做出来了。

给定 \(n\) 个点 \(m\) 条边的有向图，问由多少个区间 \([l, r]\) 满足任意 \(u \in [l, r]\) 的出边 \((u, v)\)满足到达的点 \(v\) 也在 \([l, r]\) 内。

首先我们求出 \(mi_u\) 以及 \(mx_u\) 表示 \(u\) 连的 \(v\) 中最小的以及最大的，表示如果 \(u\) 在区间内，则需满足 \(l \le mi_u, mx_u \le r\)。

所以对于 \([l, r]\) 来说，只需要满足 \(\min\limits_{i = l}^r \{mi_i\} \ge l, \max\limits_{i = l}^r\{mx_i\} \le r\) 即可。

而这种区间 \(\min, \max\) 问题一般就分治或者单调栈（笛卡尔树）比较常用。实际上都可以，因为这玩意比较简单，复杂的 DP 之类可能分治比较好，因为分治能把一段区间的 \(\min, \max\) 转化成一个前缀和一个后缀，就简单了很多，这个题应该搞两个指针即可。

---

我们来讲讲单调栈怎么做？

考虑枚举 \(r\)，显然满足 \(\max\limits_{i = l}^r\{mx_i\} \le r\) 的 \(l\) 是一段区间，只要找到最后一个 \(mx_i > r\) 的位置 \(x\) 即可。这其实很简单，可以倍增，也可以用单调栈维护 \(1 \sim r\) 的后缀最大值然后二分。

在考虑第一个条件，假设我们求出了对于 \(r - 1\) 合法的所有 \(l\)，那么加入 \(r\) 后只需要先把 \(r\) 加入，把 \(l > mi_r\) 的弹掉，显然把合法的 \(l\) 也是后面的一段，用栈维护即可。

最后我们只需要在这个栈中找到有多少个位置 \(> x\) 即可，显然可以二分。

笨一点可以将两个条件转化为 \(l \ge p_r, r \le q_l\) 的形式，然后二维数点，反正怎么做都行。

时间复杂度：\(O(n \log n)\)。

---

来讲讲我是如何 sb 没做出来的。

首先我求出 \(mi_i, mx_i\)，我就想这个区间是不断扩展的，所以我就写了个线段树优化建图把这些点都缩起来的得到一个 DEG，这样就知道选了一个点后至少要选哪个区间 \([L_i, R_i]\)，然后尝试 \(L_i - 1\) 向 \(R_i\) 连边，用 bitset 记录每个 \(r\) 可以 \(l\)，结果发现 \([L_i, R_i]\) 可以相交然后就退化成 \(O(n^3/w)\) 的 \(25pts\) 就废了。

所以第一步就想错了。。。其实对于分析一下 \([l, r]\) 有贡献的条件就化简成一个十分“套路”的式子，想怎么做怎么做了。