[题解]P7914 [CSP-S 2021] 括号序列

P7914 [CSP-S 2021] 括号序列

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下文用 \(K\) 表示输入的 \(k\)。

考虑区间 DP。

定义 \(f_{i,j,k\in\{0,1,2,3,4,5\}}\) 为区间 \([i,j]\)，状态为 \(k\) 的答案。

其中：

• \(k=0\) 表示区间形如 ***...***（全为 *）。
• \(k=1\) 表示区间形如 (...)（单个括号序列）。
• \(k=2\) 表示区间形如 (...)...*（以括号序列开头，以星号结尾）。
• \(k=3\) 表示区间形如 (...)...(...)（以括号序列开头，以括号序列结尾。包含 \(k=1\) 的状态）。
• \(k=4\) 表示区间形如 *...(...)（以星号开头，以括号序列结尾）。
• \(k=5\) 表示区间形如 *...*（以星号开头，以星号结尾。包含 \(k=0\) 的状态）。

则有转移：

• \(f_{i,j,0}=\begin{cases} f_{i,j-1,0}\times [s_i=\texttt{* }\text{or}\texttt{ ?}]&j-i+1\le K\\ 0&\text{otherwise.} \end{cases}\)

• \(f_{i,j,1}=(f_{i+1,j-1,0}+f_{i+1,j-1,2}+f_{i+1,j-1,4}+f_{i+1,j-1,5})\times \text{compare}(i,j)\)

  • 其中 \(\text{compare}(i,j)\) 表示 \(i,j\) 能否配对为左右括号。

• \(f_{i,j,2}=\sum_{k=i}^{j-1} f_{i,k,3}\times f_{k+1,j,0}\)。

• \(f_{i,j,3}=f_{i,j,1}+\sum_{k=i}^{j-1} (f_{i,k,2}+f_{i,k,3})\times f_{k+1,j,1}\)。

  • \(f_{i,j,1}\) 和后面的式子的统计是不重不漏的，因为前者是恰好 \(1\) 个括号序列，后者是 \(>1\) 个括号序列。

• \(f_{i,j,4}=\sum_{k=i}^{j-1} f_{i,k,0}\times f_{k+1,j,3}\)。

  • 和 \(f_{i,j,2}\) 的递推类似。

• \(f_{i,j,5}=f_{i,j,0}+\sum_{k=i}^{j-1} f_{i,k,4}\times f_{k+1,j,0}\)。

  • \(f_{i,j,0}\) 和后面的式子的统计是不重不漏的，因为前者是恰好 \(0\) 个括号序列，后者是 \(>0\) 个括号序列。

时间复杂度就是普通区间 DP 的 \(O(n^3)\)。

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=502,P=1e9+7;
int n,k,f[N][N][6];
string s;
inline bool match(char x,char y){return (x=='('||x=='?')&&(y==')'||y=='?');}
signed main(){ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);cin>>n>>k>>s,s=' '+s;for(int i=1;i<=n;i++) f[i][i-1][0]=1;for(int len=1;len<=n;len++){for(int i=1,j;(j=i+len-1)<=n;i++){f[i][j][0]=(len<=k)*(f[i][j-1][0]&(s[j]=='*'||s[j]=='?'));if(len>=2){f[i][j][1]=match(s[i],s[j])*(f[i+1][j-1][0]+f[i+1][j-1][2]+f[i+1][j-1][3]+f[i+1][j-1][4])%P;for(int k=i;k<j;k++){(f[i][j][2]+=f[i][k][3]*f[k+1][j][0])%=P;(f[i][j][3]+=(f[i][k][2]+f[i][k][3])*f[k+1][j][1])%=P;(f[i][j][4]+=f[i][k][0]*f[k+1][j][3])%=P;(f[i][j][5]+=f[i][k][4]*f[k+1][j][0])%=P;}}(f[i][j][3]+=f[i][j][1])%=P;(f[i][j][5]+=f[i][j][0])%=P;}}cout<<f[1][n][3]<<"\n";return 0;
}