国庆集训day1~2笔记-动态规划

国庆集训 Day 1~2 笔记 - 动态规划

DP 时间复杂度计算：状态数 $\times$ 决策数 $\times$ 转移代价

序列型 DP

最长上升子序列

B3637 最长上升子序列 - 洛谷

• $O(n^2)$ 解法：$f_i = \max{f_j + 1}$，其中 $a_j < a_i$
• $O(n \log n)$ 解法：二分优化转移或树状数组

划分型 DP

一般状态：$f_{i,j}$ 表示前 $i$ 个数分 $j$ 组

数的划分

[P1025 NOIP2001 提高组] 数的划分 - 洛谷

题目：将 $N$ 分为 $K$ 个数，不考虑顺序（即 $1,2,1$ 与 $1,1,2$ 为同一种情况）

• $f_{i,k,x}$ 表示 $i$ 分为 $k$ 个数，其中最大值为 $x$
• $f_{i,k,x} += f_{i-x,k-1,y}$，其中 $y \in [1,x]$
• 答案：$\text{ans} = \sum_{x=1}^N f_{N,K,x}$

优化（优化状态）：考虑 $1$ 的存在

• $f_{i,k} = f_{i-1,k-1} + f_{i-k,k}$

另解：DFS

抄书问题

P1281 书的复制 - 洛谷
P1182 数列分段 Section II - 洛谷
[P2884 USACO07MAR] Monthly Expense S - 洛谷

题目：$n$ 个数分为 $K$ 组，使各组的和的最大值最小

• $f_{i,j}$ 表示前 $i$ 个分 $j$ 组的最小最大值
• $s_i$ 为前缀和
• 枚举上一段末尾 $k$：$f_{i,j} = \min{\max(f_{k,j-1}, s_i - s_k)}$

优化：

• 转化 for 循环顺序：最外层枚举 $j$，中间枚举 $i$，最内层枚举 $k$
• 可降维为 $f_i$

另解：数据较大且不要求输出方案时，可使用二分答案

棋盘型 DP

（内容待补充）

区间 DP

一般状态：$f_{l,r}$ 表示一个区间

区间顺序：区间长度从小到大，左端点从小到大

状态转移：

• 扩展（左右两个方向）
• 合并（枚举断点）

石子合并

[P1880 NOI1995] 石子合并 - 洛谷

• $f_{l,r}$ 表示合并完 $[l,r]$ 得到的最大分数
• 枚举断点 $k$，其中 $k \in [l,r)$
• $f_{l,r} = \max(f_{l,k} + f_{k+1,r}) + s_r - s_{l-1}$

对于环状问题：可拓展 2 倍，转换为链后 DP（本质是枚举起点）