素数有无穷个的拓扑证明

对 \(a,b\in \mathbb Z,b>0\)，令 \(N_{a,b}=a+b\mathbb Z\). \(\{N_{a,b}\mid a,b\in\mathbb Z,b>0\}\) 构成 \(\mathbb Z\) 的一组（拓扑）基：因为 \(\mathbb Z=N_{0,1}\) 且 \(N_{a,b_1b_2}\subset N_{a,b_1}\cap N_{a,b_2}\).

赋予 \(\mathbb Z\) 由这组基生成的拓扑：\(N_{a,b}\) 也是闭集，因为若 \(x\not\in N_{a,b}\)，则 \(N_{x,b}\cap N_{a,b}=\varnothing\). 从而若素数仅有有限个，则 \(\bigcap_{p\in\mathbb P} N_{0,p}\) 为闭集，但其在 \(\mathbb Z\) 中的补集 \(\{±1\}\) 非开集，矛盾.