排列组合 容斥 总结

加法原理

加法原理。很直白的，就是一个用加法来弄的原理。

简单来说，就是做一件事情有 \(n\) 种方法，第 \(i\) 种方法又有 \(a_i\) 个具体的操作方案。那么非常显然，做这件事情就有 \(a_1 + a_2 + \dots + a_{n-1} + a_n = \sum_{i=1}^{n} a_i\) 种方案。

说说具体用途吧：最常见的，DP 里面统计方案数，由于这些解决方案是互不干扰的，也就是说如果选择 \(1\) 类方法就不可能同时选择 \(2\) 类方法，那么很多时候就是把它们加起来啦。

这就是加法原理。

乘法原理

乘法原理，顾名思义，和加法原理一样，当然是用乘法来弄的原理啦！

乘法原理和加法原理不同，它表示的是，做一件事情有 \(n\) 个步骤，第 \(i\) 个步骤又有 \(a_i\) 种具体的操作方案，那么做这件事情一共就有 \(a_1 \times a_2 \times \dots a_{n-1} \times a_n = \prod_{i=1}^{n} a_i\) 中具体的操作方案。

用途吧，就是很多时候考虑统计方案数的时候，要分步骤来考虑——换言之，分类讨论？——总之就是有一个分步骤的阶段的情况下，就要用到乘法原理，把它们乘起来啦。

这就是乘法原理。

全排列

全排列表示有 \(n\) 个互不相同的物品，然后将这些物品全部打乱，重组地去排列，一共有多少种方法。答案显然，\(n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times 2 \times 1\)，定义这个东西为 \(n!\)，即 \(n\) 的阶乘。

排列组合

排列，就是指从 \(n\) 个物品中选择 \(m\) 个排成一排。假设它们都互不相同，那么方案数是多少呢？很显然，排在第一个位置有 \(n\) 种选法，第二个位置有 \(n-1\) 种选法，第 \(i\) 个位置有 \(n-i+1\) 种选法，第 \(m\) 个位置有 \(n-m+1\) 种选法，全部乘起来，那就是 \(n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times (n-m+1)\) 啦！这就定义为 \(A_{n}^{m}\)，且有公式 \(A_{n}^{m} = \dfrac{n!}{(n-m)!}\)。

组合，同样是从 \(n\) 个物品中选择 \(m\) 个，但是不同的是，它是选择 \(m\) 个，但是只把这东西当做一个集合，并不对其进行排序——对，差别就在于，它比排列少考虑了具体的排序情况！这东西定义为 \(C_{n}^{m}\)，也记做 \(\binom{n}{m}\)，且有公式 \(C_{n}^{m} = \binom{n}{m} = \dfrac{n!}{(n-m)!\space{}m!}\)。对！就是比排列多除以了一个 \(m!\) 而已，因为不考虑顺序啦。

组合还有一个公式，那就是 \(C_{n}^{m} = C_{n-1}^{m-1} + C_{n-1}^{m}\)，这也是求解杨辉三角时的递推公式。为什么呢？因为我们已经考虑完了前 \(n-1\) 个元素的情况，现在多了一个 \(n\) 元素，我们可以考虑选它，那么之前 \(n-1\) 个元素中就只需要选择 \(m-1\) 个了，这就是 \(C_{n-1}^{m-1}\)，也可以考虑不选它，那么之前 \(n-1\) 个元素中还需要选择 \(m\) 个，这就是 \(C_{n-1}^{m}\)，加法原理加起来就有公式 \(C_{n}^{m} = C_{n-1}^{m-1} + C_{n-1}^{m}\) 啦。

杨辉三角可以 \(O(n^2)\) 预处理出来，因此当 \(n\) 不大且需要使用组合数的时候常用杨辉三角预处理哦。

例题选讲

题太多了，我就挑几道重点讲，其他的带过一下好吧。