【微科普】蒙特卡洛（全网最好懂，附MATLAB算法）：用 “撒芝麻” 的智慧破解复杂挑战 —— 从披萨面积到金融风险的诗意算法

“周末在家切了块不规则的披萨，想算它的面积却找不到合适的公式 —— 用尺子量边缘太麻烦，套几何公式又对不上形状。” 这种 “遇到复杂问题，精确计算难实现” 的场景，在生活和工作中随处可见：从算不规则地块面积，到预测股票未来收益的概率，再到模拟核反应堆的粒子运动。

而蒙特卡洛算法，就像一位懂 “随机” 的智慧老人 —— 它不用复杂公式，只需通过大量随机抽样，让 “概率” 成为丈量未知的尺子。“技术的魅力，在于用简单的逻辑对抗复杂的世界 —— 蒙特卡洛让‘随机’不再无序，而是成为破解难题的有序工具。”

序章：一块披萨引出的算法灵感

先回到披萨的问题：如何算一块边缘不规则的披萨面积？

如果用传统方法，可能需要：

1. 用尺子把披萨边缘分成几十段小直线；
2. 用多边形面积公式计算近似值；
3. 分段越多，结果越准，但耗时也越长。

而蒙特卡洛的思路简单到 “反直觉”：

1. 找一个能完全罩住披萨的正方形盘子，测量正方形的边长（比如 20cm，面积 400cm²）；
2. 抓一把芝麻，均匀撒在盘子上（假设撒了 1000 颗）；
3. 数一下落在披萨上的芝麻数量（比如 628 颗）；
4. 披萨面积 ≈ 正方形面积 × (披萨上的芝麻数 / 总芝麻数) = 400 × 628/1000 = 251.2cm²。

这个过程的核心逻辑是：当抽样足够多时，随机点的 “命中概率” 会无限接近 “面积占比”。而这，正是蒙特卡洛算法的本质 —— 用 “随机抽样” 逼近 “精确结果”，尤其适合解决 “公式难写、边界复杂” 的问题。

核心原理：从 “撒芝麻” 到数学逻辑

蒙特卡洛算法的核心，是 “大数定律” 和 “随机抽样” 的结合。我们用 “三个层层递进的场景”，拆解它的数学逻辑：

1. 基础场景：算 π 值 —— 理解 “抽样与概率的关系”

最经典的蒙特卡洛案例，是通过 “正方形内接圆” 算 π 值。

• 画一个边长为 2r 的正方形，内部画一个半径为 r 的内接圆；
• 正方形面积 = (2r)² = 4r²；
• 圆面积 = πr²；
• 圆面积 / 正方形面积 = π/4 → π = 4 × (圆内点数 / 总点数)。

生活类比：就像在正方形操场上画一个圆，随机喊 1000 个人站在操场上，数出站在圆内的人数（比如 785 人），就能算出 π≈4×785/1000=3.14，和真实值 3.1415926 非常接近。

2. 进阶场景：算不规则图形面积 —— 解决 “无公式可用” 的痛点

对于披萨这种无固定公式的图形，蒙特卡洛的步骤是：

1. 确定边界：找一个能完全包含图形的 “外接矩形”（已知长和宽，面积可算）；
2. 随机抽样：生成大量在矩形内的随机点（x,y）；
3. 判断归属：对每个点，判断是否落在不规则图形内部（比如用 “射线法”：从点向右画射线，穿过图形边界的次数为奇数则在内部）；
4. 计算面积：图形面积 = 外接矩形面积 × (图形内点数 / 总点数)。

数学简化：设外接矩形面积为 S，总抽样数为 N，图形内抽样数为 K，则：\(Area = S \times \frac{K}{N}\)

• 意义：用 “随机点的命中比例” 反推未知面积，抽样次数越多，结果越精确。

3. 应用场景：金融风险评估 —— 预测 “概率分布”

在金融领域，蒙特卡洛常用来模拟股票未来的收益：

1. 定义随机变量：假设股票收益率服从 “正态分布”（均值 μ，标准差 σ）；
2. 大量抽样：生成 10000 组未来 1 年的日收益率随机数据；
3. 模拟路径：根据每组收益率，计算股票未来的价格走势；
4. 风险评估：统计 “股价跌破止损线” 的次数占比，即为 “风险概率”。

生活类比：就像预测 “明天是否下雨”—— 通过分析过去 1000 天的天气数据，生成 1000 组明天的气象随机变量，统计 “下雨” 的次数占比（比如 30%），就是明天的降雨概率。

数学之美：蒙特卡洛的 “严谨性” 从何而来？

很多人觉得 “随机抽样” 很 “粗糙”，但蒙特卡洛的精确性，源于两个数学定理的支撑：

1. 大数定律：抽样越多，结果越准

大数定律的核心是：当随机试验次数足够多时，事件发生的频率会无限接近其概率。

• 比如抛硬币：抛 10 次可能有 7 次正面（70%），抛 1000 次则接近 50%，抛 100000 次则几乎等于 50%；
• 对应蒙特卡洛：抽样次数 N 越大，\(\frac{K}{N}\)越接近真实的 “面积占比 / 概率”，误差越小。

2. 中心极限定理：误差可控，结果可置信

中心极限定理告诉我们：大量独立随机变量的均值，会服从正态分布。

• 对蒙特卡洛而言，每次抽样的 “误差” 是独立随机变量，多次抽样后的 “平均误差” 会围绕 0 正态分布；
• 由此可计算 “置信区间”：比如 “有 95% 的把握，π 值在 3.13~3.15 之间”，让结果不仅有 “精度”，还有 “可信度”。

3. 收敛速度：为什么 “抽样次数要多”？

蒙特卡洛的收敛速度是\(O(\frac{1}{\sqrt{N}})\)—— 即 “误差与抽样次数的平方根成反比”：

• 若想把误差从 0.1 降到 0.01，抽样次数需从 100 次增加到 10000 次（翻 100 倍）；
• 意义：虽然抽样次数越多越准，但 “精度提升” 的成本会越来越高，实际应用中需平衡 “精度” 和 “计算效率”。

实践落地：3 个蒙特卡洛场景的 MATLAB 脚本实现

下面用 3 个层层递进的 MATLAB 脚本，完整实现蒙特卡洛的核心应用。脚本无需额外工具箱，可直接复制运行，包含详细注释和可视化。

场景 1：基础版 —— 用蒙特卡洛算 π 值

功能：通过 “正方形内接圆” 抽样，计算 π 值，可视化抽样过程和误差变化。

% 蒙特卡洛算π值（基础版）
% 功能说明：
% 1. 生成正方形内的随机点，判断是否落在内接圆内
% 2. 计算π的近似值，统计不同抽样次数下的误差
% 3. 生成2个可视化窗口：抽样点分布、误差随次数变化曲线
% 运行说明：直接复制运行，无需额外文件；抽样次数N可修改（默认100000次）
clear; clc; close all;
%% 1. 参数设置
N = 100000;          % 总抽样次数（可修改，越大越准）
r = 1;              % 内接圆半径
square_side = 2*r;  % 正方形边长（2r，与圆直径相等）
square_area = square_side^2;  % 正方形面积
%% 2. 蒙特卡洛抽样
% 生成N个随机点（x,y），范围：[-r, r]（正方形边界）
x = rand(1, N) * 2*r - r;  % x∈[-r, r]
y = rand(1, N) * 2*r - r;  % y∈[-r, r]
% 判断每个点是否落在圆内（x² + y² ≤ r²）
in_circle = zeros(1, N);  % 1=在圆内，0=在圆外
for i = 1:Nif x(i)^2 + y(i)^2 <= r^2in_circle(i) = 1;end
end
% 统计圆内点数，计算π的近似值
K = sum(in_circle);  % 圆内点数
pi_approx = 4 * K / N;  % π≈4×(圆内点数/总点数)
pi_true = pi;  % 真实π值
error = abs(pi_approx - pi_true);  % 计算误差
%% 3. 可视化1：抽样点分布
figure('Name', '图1：蒙特卡洛算π——抽样点分布', 'Position', [100, 100, 600, 600]);
% 绘制正方形边界
hold on; axis equal; grid on;
rectangle('Position', [-r, -r, square_side, square_side], 'EdgeColor', 'black', 'LineWidth', 1.5);
% 绘制内接圆
theta = 0:0.01:2*pi;
circle_x = r * cos(theta);
circle_y = r * sin(theta);
plot(circle_x, circle_y, 'r-', 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', '内接圆');
% 绘制抽样点（圆内红色，圆外蓝色）
plot(x(in_circle==1), y(in_circle==1), 'r.', 'MarkerSize', 3, 'DisplayName', '圆内点');
plot(x(in_circle==0), y(in_circle==0), 'b.', 'MarkerSize', 3, 'DisplayName', '圆外点');
% 添加标题和图例
title(sprintf('蒙特卡洛算π：抽样次数=%d，π≈%.6f，真实值=%.6f，误差=%.6f', ...N, pi_approx, pi_true, error));
xlabel('x坐标'); ylabel('y坐标');
legend('Location', 'best');
%% 4. 可视化2：误差随抽样次数变化
figure('Name', '图2：蒙特卡洛算π——误差变化曲线', 'Position', [200, 200, 800, 400]);
% 计算不同抽样次数下的π值和误差（100次、200次...10000次）
sample_steps = 100:100:N;  % 抽样次数步长
pi_history = zeros(1, length(sample_steps));
error_history = zeros(1, length(sample_steps));
for i = 1:length(sample_steps)current_N = sample_steps(i);current_K = sum(in_circle(1:current_N));pi_history(i) = 4 * current_K / current_N;error_history(i) = abs(pi_history(i) - pi_true);
end
% 绘制误差曲线
plot(sample_steps, error_history, 'g-', 'LineWidth', 1.5,'DisplayName', '误差曲线');
hold on;
% 添加误差阈值线（0.01）
plot([sample_steps(1), sample_steps(end)], [0.01, 0.01], 'r--', 'LineWidth', 1.2, 'DisplayName', '误差阈值0.01');
grid on;
xlabel('抽样次数'); ylabel('π值计算误差');
title('蒙特卡洛算π：误差随抽样次数变化（次数越多，误差越小）');
legend('Location', 'best');
%% 5. 输出结果
fprintf('=== 蒙特卡洛算π结果 ===\n');
fprintf('总抽样次数：%d\n', N);
fprintf('圆内点数：%d\n', K);
fprintf('π近似值：%.6f\n', pi_approx);
fprintf('真实π值：%.6f\n', pi_true);
fprintf('计算误差：%.6f\n', error);
fprintf('结论：抽样次数越多，误差越接近0，符合大数定律\n');

结果解读：

=== 蒙特卡洛算π结果 ===
总抽样次数：100000
圆内点数：78451
π近似值：3.138040
真实π值：3.141593
计算误差：0.003553
结论：抽样次数越多，误差越接近0，符合大数定律

1. 图 1 中，红色点为圆内点，蓝色点为圆外点，抽样次数 100000 次时，π 值约为 3.14，误差低于0.004；
2. 图 2 中，误差随抽样次数增加逐渐下降，当次数超过 35000 次后，误差稳定在 0.01 以内，验证了 “抽样越多越准” 的规律；

场景 2：进阶版 —— 算不规则图形面积（披萨 / 叶子）

功能：计算 “叶子形状” 的不规则图形面积，对比不同抽样次数的精度，可视化边界和抽样点。

% 随机封闭多边形的蒙特卡洛面积模拟
% 功能说明：
% 1. 随机生成简单多边形（无自相交），用鞋带公式计算准确面积
% 2. 用蒙特卡洛方法模拟面积，对比不同抽样次数的精度
% 3. 可视化多边形边界、抽样点分布及面积收敛曲线
% 运行说明：直接复制运行，每次运行生成不同图形；可修改N_list调整抽样次数
clear; clc; close all;
%% 1. 随机生成封闭多边形
% 生成6-10个随机顶点（按角度排序，确保多边形简单）
n_vertices = randi([6, 10]);  % 顶点数：6-10个
theta = sort(rand(1, n_vertices) * 2*pi);  % 角度：0~2π随机排序
r = 0.5 + rand(1, n_vertices) * 0.5;  % 半径：0.5~1.0（避免顶点过于密集）
% 极坐标转直角坐标（中心在原点）
x = r .* cos(theta);
y = r .* sin(theta);
% 闭合多边形（首尾顶点相连）
x = [x, x(1)];  % 最后一点与第一点相同
y = [y, y(1)];
%% 2. 计算多边形的准确面积（鞋带公式）
% 鞋带公式：Area = 0.5 * |sum(x_i*y_{i+1} - x_{i+1}*y_i)|
polygon_area = 0;
for i = 1:length(x)-1  % 最后一点是闭合点，不重复计算polygon_area = polygon_area + (x(i)*y(i+1) - x(i+1)*y(i));
end
polygon_area = abs(polygon_area) * 0.5;  % 取绝对值并乘以0.5
fprintf('=== 多边形准确面积（鞋带公式）：%.4f ===\n', polygon_area);
%% 3. 确定外接矩形（完全包含多边形）
x_min = min(x); x_max = max(x);
y_min = min(y); y_max = max(y);
rect_width = x_max - x_min;
rect_height = y_max - y_min;
rect_area = rect_width * rect_height;  % 外接矩形面积
%% 4. 蒙特卡洛模拟（多组抽样次数对比）
N_list = [1000, 5000, 10000, 50000, 100000];  % 抽样次数梯度
mc_area = zeros(1, length(N_list));  % 存储蒙特卡洛计算的面积
mc_error = zeros(1, length(N_list));  % 存储误差
for idx = 1:length(N_list)N = N_list(idx);% 生成矩形内的随机点x_rand = x_min + rand(1, N) * rect_width;y_rand = y_min + rand(1, N) * rect_height;% 判断每个点是否在多边形内（射线法）in_polygon = arrayfun(@(i) point_in_polygon(x_rand(i), y_rand(i), x, y), 1:N);% 计算面积与误差K = sum(in_polygon);mc_area(idx) = rect_area * K / N;mc_error(idx) = abs(mc_area(idx) - polygon_area);fprintf('抽样次数=%d：蒙特卡洛面积=%.4f，误差=%.4f\n', N, mc_area(idx), mc_error(idx));
end
%% 5. 可视化1：多边形边界与抽样点（最大抽样次数）
figure('Name', '图1：随机多边形与抽样点', 'Position', [100, 100, 700, 700]);
hold on; axis equal; grid on;
% 绘制外接矩形
rectangle('Position', [x_min, y_min, rect_width, rect_height], ...'EdgeColor', 'k', 'LineWidth', 1.2);
% 绘制多边形边界
plot(x, y, 'r-', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', '多边形边界');
% 用最大抽样次数的点进行可视化
N_max = N_list(end);
x_rand = x_min + rand(1, N_max) * rect_width;
y_rand = y_min + rand(1, N_max) * rect_height;
in_polygon = arrayfun(@(i) point_in_polygon(x_rand(i), y_rand(i), x, y), 1:N_max);
% 绘制内外点（内绿外蓝）
plot(x_rand(in_polygon==1), y_rand(in_polygon==1), 'g.', 'MarkerSize', 1.5, 'DisplayName', '多边形内点');
plot(x_rand(in_polygon==0), y_rand(in_polygon==0), 'b.', 'MarkerSize', 1.5, 'DisplayName', '多边形外点');
title(sprintf('随机多边形（顶点数=%d）：准确面积=%.4f，蒙特卡洛面积=%.4f', ...n_vertices, polygon_area, mc_area(end)));
xlabel('x坐标'); ylabel('y坐标');
legend('Location', 'best');
%% 6. 可视化2：面积误差随抽样次数变化
figure('Name', '图2：蒙特卡洛面积误差收敛曲线', 'Position', [200, 200, 800, 500]);
semilogx(N_list, mc_error, 'o-', 'Color', [0.8, 0.2, 0.2], 'LineWidth', 2, 'MarkerSize', 8);
hold on; grid on;
% 绘制误差参考线（0.01）
plot([N_list(1), N_list(end)], [0.01, 0.01], 'k--', 'LineWidth', 1.2, 'DisplayName', '误差阈值0.01');
% 添加误差标签
for i = 1:length(N_list)text(N_list(i)*1.1, mc_error(i)*1.1, sprintf('%.4f', mc_error(i)), ...'HorizontalAlignment', 'left', 'FontSize', 9);
end
xlabel('抽样次数（对数轴）');
ylabel('面积误差（蒙特卡洛值 - 准确值）');
title('蒙特卡洛面积误差随抽样次数变化（次数越多，误差越小）');
legend('Location', 'best');
ylim([0, max(mc_error)*1.2]);
%% 7. 结论输出
fprintf('\n=== 结论 ===\n');
fprintf('1. 随机多边形准确面积：%.4f（鞋带公式计算）\n', polygon_area);
fprintf('2. 蒙特卡洛模拟收敛性：抽样次数从1000→100000，误差从%.4f→%.4f\n', ...mc_error(1), mc_error(end));
fprintf('3. 规律：误差随抽样次数增加而减小，符合O(1/√N)收敛速度\n');
%% 工具函数：判断点是否在多边形内（射线法）
function flag = point_in_polygon(px, py, x, y)% 输入：点(px,py)，多边形顶点(x,y)（已闭合）% 输出：1=在内部，0=在外部flag = 0;n = length(x) - 1;  % 排除闭合点for i = 1:nj = i + 1;xi = x(i); yi = y(i);xj = x(j); yj = y(j);% 判断点是否在边的y范围内if ((yi > py) ~= (yj > py))% 计算射线与边的交点x坐标x_intersect = ( (py - yi) * (xj - xi) ) / (yj - yi) + xi;% 若交点在点右侧，则计数+1if px < x_intersectflag = 1 - flag;  % 奇数次交叉=内部，偶数次=外部endendend
end

=== 多边形准确面积（鞋带公式）：1.1518 ===
抽样次数=1000：蒙特卡洛面积=1.1186，误差=0.0332
抽样次数=5000：蒙特卡洛面积=1.1745，误差=0.0227
抽样次数=10000：蒙特卡洛面积=1.1523，误差=0.0004
抽样次数=50000：蒙特卡洛面积=1.1466，误差=0.0052
抽样次数=100000：蒙特卡洛面积=1.1500，误差=0.0019

=== 结论 ===
1. 随机多边形准确面积：1.1518（鞋带公式计算）
2. 蒙特卡洛模拟收敛性：抽样次数从1000→100000，误差从0.0332→0.0019
3. 规律：误差随抽样次数增加而减小，符合O(1/√N)收敛速度

场景 3：应用版 —— 金融风险评估（股票收益模拟）

功能：模拟股票未来 1 年的价格走势，计算 “股价跌破止损线” 的风险概率，可视化收益分布和风险区间。

% 蒙特卡洛金融风险评估（应用版）
% 功能说明：
% 1. 假设股票日收益率服从正态分布，模拟未来250个交易日（1年）的价格走势
% 2. 生成10000组模拟路径，计算“股价跌破止损线”的风险概率
% 3. 生成3个可视化窗口：部分模拟路径、收益分布直方图、风险概率统计
% 运行说明：直接复制运行，无需额外文件；可修改initial_price/stop_loss调整参数
clear; clc; close all;
%% 1. 金融参数设置（基于真实股票数据假设）
initial_price = 100;    % 股票初始价格（元）
stop_loss = 80;         % 止损线（股价低于此值则止损，元）
mu = 0.0005;            % 日收益率均值（年化约12.5%）
sigma = 0.01;           % 日收益率标准差（年化约32%）
trading_days = 250;     % 每年交易日数
simulation_times = 10000;  % 模拟路径次数（越多越准）
%% 2. 蒙特卡洛模拟
% 生成10000组日收益率（正态分布：N(μ, σ²)）
% 公式：日收益率 = μ + σ * 随机正态变量（randn生成N(0,1)）
daily_return = mu + sigma * randn(simulation_times, trading_days);
% 计算每组模拟的股价走势（初始价格×累乘(1+日收益率)）
stock_price = zeros(simulation_times, trading_days + 1);  % 第1列是初始价格
stock_price(:, 1) = initial_price;  % 第一天价格=初始价格
for i = 1:simulation_timesfor j = 1:trading_daysstock_price(i, j+1) = stock_price(i, j) * (1 + daily_return(i, j));end
end
%% 3. 风险统计
% 统计“每组模拟路径中，股价是否跌破止损线”
risk_count = 0;
for i = 1:simulation_timesif min(stock_price(i, :)) <= stop_lossrisk_count = risk_count + 1;end
end
risk_probability = risk_count / simulation_times;  % 风险概率（跌破止损线的比例）
% 统计最终收益分布（250天后的收益率）
final_return = (stock_price(:, end) - initial_price) / initial_price;
return_mean = mean(final_return);  % 平均收益率
return_std = std(final_return);    % 收益率标准差
win_rate = sum(final_return > 0) / simulation_times;  % 盈利概率（收益率>0）
%% 4. 可视化1：部分模拟路径（取前50组，避免图线杂乱）
figure('Name', '图1：蒙特卡洛金融模拟——股票价格路径', 'Position', [100, 100, 1000, 600]);
hold on; grid on;
days = 0:trading_days;  % 天数（0=初始日，250=最后一天）
for i = 1:min(50, simulation_times)plot(days, stock_price(i, :), 'Color', [0.5, 0.5, 0.5, 0.6], 'LineWidth', 1);
end
% 绘制初始价格和止损线
plot(days, initial_price * ones(1, length(days)), 'k-', 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', '初始价格');
plot(days, stop_loss * ones(1, length(days)), 'r--', 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', '止损线');
% 突出显示“跌破止损线”的路径（取第1条风险路径）
risk_path_idx = find(min(stock_price) <= stop_loss, 1);
if ~isempty(risk_path_idx)plot(days, stock_price(risk_path_idx, :), 'r-', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', '跌破止损线的路径');
end
title(sprintf('股票价格模拟（%d组路径，风险概率=%.2f%%）', simulation_times, risk_probability*100));
xlabel('交易日'); ylabel('股票价格（元）');
legend('Location', 'best');
%% 5. 可视化2：最终收益率分布直方图
figure('Name', '图2：蒙特卡洛金融模拟——收益率分布', 'Position', [200, 200, 800, 500]);
% 绘制直方图（ bins=50，统计收益率分布）
histogram(final_return, 50, 'FaceColor', [0.6, 0.8, 1.0], 'EdgeColor', 'black');
hold on;
% 绘制平均收益率线和0收益线
plot([return_mean, return_mean], [0, max(histcounts(final_return, 50))], ...'g-', 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('平均收益率=%.2f%%', return_mean*100));
plot([0, 0], [0, max(histcounts(final_return, 50))], ...'r--', 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', '0收益线（盈亏平衡）');
grid on;
xlabel('250天后的收益率（正=盈利，负=亏损）');
ylabel('模拟路径次数');
title(sprintf('股票最终收益率分布（盈利概率=%.2f%%，收益率标准差=%.2f%%）', win_rate*100, return_std*100));
legend('Location', 'best');
%% 6. 可视化3：风险概率统计（不同止损线下的风险）
figure('Name', '图3：蒙特卡洛金融模拟——不同止损线风险对比', 'Position', [300, 300, 800, 500]);
% 计算不同止损线下的风险概率（70元、75元、80元、85元、90元）
stop_loss_list = 70:5:90;
risk_prob_list = zeros(1, length(stop_loss_list));
for i = 1:length(stop_loss_list)current_stop_loss = stop_loss_list(i);current_risk_count = 0;for j = 1:simulation_timesif min(stock_price(j, :)) <= current_stop_losscurrent_risk_count = current_risk_count + 1;endendrisk_prob_list(i) = current_risk_count / simulation_times;
end
% 绘制风险概率曲线
plot(stop_loss_list, risk_prob_list*100, 'o-', 'LineWidth', 2, 'MarkerSize', 8, 'Color', 'red');
hold on; grid on;
% 添加数据标签
for i = 1:length(stop_loss_list)text(stop_loss_list(i)+0.5, risk_prob_list(i)*100+0.5, sprintf('%.2f%%', risk_prob_list(i)*100), ...'HorizontalAlignment', 'left', 'FontSize', 10);
end
xlabel('止损线价格（元）');
ylabel('风险概率（%）');
title('不同止损线下的风险概率（止损线越高，风险概率越大）');
ylim([0, max(risk_prob_list)*100 + 2]);
%% 7. 输出风险评估报告
fprintf('\n=== 蒙特卡洛股票风险评估报告 ===\n');
fprintf('基础参数：\n');
fprintf(' - 初始股价：%.2f元，止损线：%.2f元\n', initial_price, stop_loss);
fprintf(' - 日收益率均值：%.4f（年化%.2f%%），标准差：%.4f（年化%.2f%%）\n', ...mu, mu*250*100, sigma, sigma*sqrt(250)*100);
fprintf(' - 模拟路径：%d组，交易日：%d天（1年）\n', simulation_times, trading_days);
fprintf('\n风险统计结果：\n');
fprintf('1. 跌破止损线的风险概率：%.2f%%（%d/%d组路径）\n', risk_probability*100, risk_count, simulation_times);
fprintf('2. 250天后盈利概率：%.2f%%（收益率>0的路径比例）\n', win_rate*100);
fprintf('3. 平均收益率：%.2f%%，收益率标准差：%.2f%%\n', return_mean*100, return_std*100);
fprintf('\n投资建议：\n');
if risk_probability > 0.2fprintf(' - 风险概率较高（>20%%），建议降低止损线或减少仓位\n');
elseif risk_probability > 0.1fprintf(' - 风险概率中等（10%%-20%%），建议设置对冲策略\n');
elsefprintf(' - 风险概率较低（<10%%），可维持当前仓位\n');
end
%% 函数定义
% 函数：计算单组股票价格路径
function price_path = stock_price_simulation(initial_price, mu, sigma, trading_days)% 输入：初始价格、日收益率均值、标准差、交易日数% 输出：股票价格路径（1×(trading_days+1)）daily_return = mu + sigma * randn(1, trading_days);price_path = zeros(1, trading_days + 1);price_path(1) = initial_price;for j = 1:trading_daysprice_path(j+1) = price_path(j) * (1 + daily_return(j));end
end

结果解读：

1. 图 1 中，灰色线为 10000 组模拟路径中的前 50 组，红色线为 “跌破止损线” 的路径，可直观看到股价的随机波动；
2. 图 2 中，收益率分布呈正态分布，平均收益率约 13.89%（年化），盈利概率约 60.19%，符合股票市场的 “风险与收益并存” 规律；
3. 图 3 中，止损线从 70 元提高到 90 元，风险概率从 17.89% 增至 63.46%，说明 “止损线越严格，触发止损的风险越高”，为投资决策提供量化依据；
4. 若修改mu和sigma（比如将sigma从 0.02 改为 0.01，降低波动率），风险概率会显著下降，验证了 “低波动率资产风险更低” 的常识。

=== 蒙特卡洛股票风险评估报告 ===
基础参数：
 - 初始股价：100.00元，止损线：80.00元
 - 日收益率均值：0.0005（年化12.50%），标准差：0.0200（年化31.62%）
 - 模拟路径：10000组，交易日：250天（1年）

风险统计结果：
1. 跌破止损线的风险概率：37.01%（3701/10000组路径）
2. 250天后盈利概率：60.19%（收益率>0的路径比例）
3. 平均收益率：13.89%，收益率标准差：36.79%
投资建议：
 - 风险概率较高（>20%），建议降低止损线或减少仓位

=== 蒙特卡洛股票风险评估报告 ===
基础参数：
 - 初始股价：100.00元，止损线：80.00元
 - 日收益率均值：0.0005（年化12.50%），标准差：0.0100（年化15.81%）
 - 模拟路径：10000组，交易日：250天（1年）

风险统计结果：
1. 跌破止损线的风险概率：4.16%（416/10000组路径）
2. 250天后盈利概率：77.45%（收益率>0的路径比例）
3. 平均收益率：13.58%，收益率标准差：17.82%

投资建议：
 - 风险概率较低（<10%），可维持当前仓位

结语：蒙特卡洛的诗意 —— 在随机中寻找确定

从 “撒芝麻算披萨面积”，到 “模拟股票收益”，蒙特卡洛算法的本质，是 “用大量随机的‘点’，编织出确定的‘规律’”。它不追求 “一次算准”，而是通过 “多次尝试” 逼近真相 —— 这像极了生活中的道理：

• 想知道 “努力是否有回报”，不用纠结 “一次失败”，而是看 “长期努力后的成功概率”；
• 想找到 “最优解”，不用害怕 “试错”，而是通过 “多次尝试” 缩小范围，最终逼近目标。

技术的温度，正在于它能将复杂的数学逻辑，转化为解决生活问题的工具。蒙特卡洛告诉我们：“随机” 不是 “无序”，而是破解复杂问题的另一种 “有序”—— 当我们无法用公式精准计算时，不妨用 “随机抽样” 的智慧，在不确定中寻找确定。

下一篇，我们将探讨蒙特卡洛的进阶应用 ——“马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）”，看它如何解决 “高维复杂问题” 的抽样难题，比如模拟 AI 模型的参数分布。