AtCoder Beginner Contest 425

A，B

H₂O题。

A 题直接模拟，记得 \(-1^x\) 的性质。

B 题构造题，每次往空格里填最小的可用数字即可。

C

这道题就相当于有一个数字圆环，每次求其中的一段区间的和。、

嗯？怎么这么眼熟？这不破环成链吗！

复制一遍数组，记录一下偏移量（记得取模），求和用前缀和即可。

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D

直接模拟——好像不太行。

我们可以考虑怎么优化。

显然，在一轮模拟中，只有上一轮模拟中变黑的格子周围的四个格子才有可能变黑。

那么我们每次只用更新他们就行了。

由于最多只有 \(nm\) 个格子变黑，所以时间复杂度为 \(O(nm)\)，可以通过本题。

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E

这题小学奥数秒（具体过程略，不会建议重学组合数学）。

不过由于非质数模数下阶乘可能没有逆元，故应该是杨辉三角来预处理出 \(n \choose m\)。

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F

考虑状压 DP。

首先，如果一个一个往上添是很难做的，那我们可以反着来，考虑一个一个往下删。

设 \(f_{S}\) 表示每一个字符是否删除的集合为 \(S\)，总共有多少种可能。

对于每个 \(f_{S}\)，很明显他能对所有比 \(S\) 多删了一个字符的 \(f_{T}\) 造成贡献，可以 \(O(n)\) 枚举，所以总时间复杂度为 \(O(n2^n)\)。

但你以为这样就结束了吗？不，如果你尝试运行样例，你就会发现答案比正确答案多了一点。

为什么呢？我们可以发现，有些删除整个字符串的操作序列会重复。比如有字符串 aabb，先删第 \(1\) 位和先删第 \(2\) 是一样的。为了解决这种情况，我们规定如果当前字符串有多个字符相同，那么就必须从最左边开始删，这样问题就解决了。

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G

看到异或想到 01-Trie。

考虑对于每一个 \(x\)，求出最小的异或值。

我们可以贪心地做。假如我们已经知道了一个数，什么情况下另一个数与这个数的异或值最小呢？对了，就是在这两个数相等的时候。

所以我们在 01-Trie 上从上往下走，每次尽可能走与 \(x\) 的这一二进制位一致的数即可。

但是这种方法的时间复杂度依旧过不去，怎么优化呢？

我们换种角度，从 01-Trie 节点的角度来考虑。

从上往下走，记录经过该点的 \(x\) 数量 \(cnt\) 和深度（从大到小） \(dep\)。

延续之前的贪心做法，如果两个子节点都存在，那么将所有 \(x\) 放进它的下一位对应的子节点里，否则全部放进唯一的子节点里，并且对答案产生贡献。

但有个问题，怎么求出下一位为 \(0\) 和 \(1\) 的 \(x\) 个数呢？

很明显，由于每个 \(x\) 都是连续的，所以经过这个节点的 \(x\) 的下一位一定是从 \(0\) 到 \(1\) 的，由于 \(0\) 是一定会先加满才会变成 \(1\)，所以下一位为 \(0\) 的个数为 \(\min(cnt,2^{dep-1})\)，为 \(1\) 的个数为 \(cnt-\min(cnt,2^{dep-1})\)。

可以发现，\(cnt\) 为 \(2^{dep}\) 的节点会经常出现，所以我们可以先预处理出所有这样的节点的答案。

这样时间复杂度就可以足够通过本题了。

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