【笔记】Prfer 序列

news/2025/9/26 16:04:03/文章来源:https://www.cnblogs.com/bikuhiku/p/19110718/Prufer2

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1. 对树建立 Prüfer 序列

\(\rm Def.\) Prüfer 序列的构建如下：
每次选择树中编号最小的叶节点并删去它，并在一个初始为空的序列末加入其连接到的节点，直到整个树剩下 \(2\) 个节点（即 Prüfer序列的长度为 \(n-1\)）

实现

首先可以用堆，这显然是 \({\cal O}(n \log n)\) 的。

不过 Prüfer 序列也可以线性构造，过程：
0. 用一个指针 \(p\) 指向编号最小的叶节点；

删除 \(p\) 指向的节点；
如果产生新的叶节点，且编号小于原节点，删除之，并重复本步；
让 \(p\) 自增，直至指向一个未被删除的叶节点。
这个算法的正确性是有保证的，因为每次删除的一定是最小的叶节点。第 2 步中产生的新的叶结点中编号大于原节点的一定会在之后被扫描到。
时间复杂度上，\(p\) 至多自增 \(n-1\) 次，而第二步产生新的叶节点一定会消耗边，一棵树只有 \(n-1\) 条边，故总的时间复杂度是 \({\cal O}(n)\) 的。

2. 性质

最后剩下俩节点，其中必有 \(n\)；
每个节点 \(v\) 出现 \({\rm deg}(v)-1\) 次。

3. 用 Prüfer 序列重构树

用 Prüfer 序列还原整棵树上节点的度数，找到序号最小的叶节点，prüfer 序列的第一个元素就是它的父节点。之后将它的父节点度数减一，继续之前的过程。

用堆维护，是 \({\cal O}(n \log n)\) 的。

重构也有线性的算法，和 [[Prüfer序列#实现|对树建立 Prüfer 序列的线性算法]] 如出一辙。

4. 代码

P6086 【模板】Prufer 序列

\({\cal O}(n \log n)\) 实现

void PtT() {for(int i = 1;i <= n-2;++i) deg[a[i]]++;for(int i = 1;i <= n;++i) if(deg[i] == 0) q.push(i);for(int i = 1;i <= n-2;++i) {b[q.top()] = a[i];q.pop();if(--deg[a[i]] == 0) q.push(a[i]);}for(int i = 1;i <= n-1;++i) {if(b[i] == 0) b[i] = n;ans ^= 1ll*i*b[i];}
}
void TtP() {for(int i = 1;i < n;++i) {deg[i]++;deg[a[i]]++;}for(int i = 1;i <= n;++i) if(deg[i] == 1) q.push(i);for(int i = 1;i <= n-2;++i) {b[i] = a[q.top()];q.pop();if(--deg[b[i]] == 1) q.push(b[i]);ans ^= 1ll*i*b[i];}
}

傻逼浓缩

int main() {
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i = 1;i <= n-m;++i)
        scanf("%d",&a[0][i]);
    if(m == 2)
        a[0][n-1] = n;
    for(int i = 1;i <= n-m;++i)
        deg[a[0][i]]++;
    for(int i = 1;i <= n;++i)
        if(deg[i] == 0)
            q.push(i);
    m--;
    for(int i[2] = {1,0};i[0] < n-(m^1);++i[0]) {
        i[1] = q.top();
        a[1][i[m]] = a[0][i[m^1]];
        ans ^= 1ll*i[m]*a[1][i[m]];
        q.pop()
        if(--deg[a[1][i[m]]] == 0)
            q.push(a[1][i[m]]);
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

\({\cal O}(n)\) 实现

void TtP() {for(int i = 1;i < n;++i) deg[a[i]]++;for(int p = 1, i = 0;p < n;++p) {int q = p;while(!deg[q]) {b[++i] = a[q];deg[a[q]]--;if(a[q] > p) break;q = a[q];}}
}
void PtT() {a[n-1] = n;for(int i = 1;i < n;++i) deg[a[i]]++;for(int p = 1, i = 0;p < n;++p) {int q = p;while(!deg[q]) {b[q] = a[++i];deg[b[q]]--;if(b[q] > p) break;q = b[q];}}
}