太湖云建站网站建设,amh wordpress,网上如何推广平台,深圳软件公司名录前#xff08;che#xff09;言#xff08;dan#xff09; FWTFWTFWT是个神奇的东西。 然而网上多数讲解多数直接给结论#xff0c;顶多用归纳法证一证。 所以本文会讲解FWTFWTFWT的推导过程。 虽然也用到了构造#xff0c;但是好背得多 参考博客#xff1a;https:/…前che言dan FWTFWTFWT是个神奇的东西。 然而网上多数讲解多数直接给结论顶多用归纳法证一证。 所以本文会讲解FWTFWTFWT的推导过程。 虽然也用到了构造但是好背得多 参考博客https://www.cnblogs.com/ACMSN/p/11031072.html 能干啥 众所周知FFTFFTFFT求的是 Ck∑ijkAiBjC_k\sum_{ijk}A_iB_jCk​ijk∑​Ai​Bj​ 而FWTFWTFWT求的是 Ck∑i⊕jkAiBjC_k\sum_{i\oplus jk}A_iB_jCk​i⊕jk∑​Ai​Bj​ 其中⊕\oplus⊕为逻辑位运算符即amp;,∣,^\amp;,|,\hat{},∣,^ 两者思想类似但实际上是两条不同的线。 约定 大写字母A,B,CA,B,CA,B,C表示一个序列多项式下标从000开始到n−1n-1n−1结束 小写字母i,j,ki,j,ki,j,k表示循环变量 AB,A−B,A∗BAB,A-B,A*BAB,A−B,A∗B表示对应位直接相加,相减或相乘 A⊕BA \oplus BA⊕B表示对应的卷积⊕\oplus⊕为amp;,∣,^,×(乘法)\amp;,|,\hat{},\times(乘法),∣,^,×(乘法) A[i]A[i]A[i]表示序列第iii位 A0,A1A_0,A_1A0​,A1​表示序列前半部分和后半部分 (A,B)(A,B)(A,B)表示将两个序列拼接在一起 如果涉及了集合运算表示这个数二进制111的位置构成的集合 分析 回忆FFTFFTFFT的过程它的思想是构造一个FFTFFTFFT函数及其逆运算IFFTIFFTIFFT使得 IFFT(FFT(A)∗FFT(B))A×BIFFT(FFT(A)*FFT(B))A \times BIFFT(FFT(A)∗FFT(B))A×B FWTFWTFWT则构造 IFWT(FWT(A)∗FWT(B))A⊕BIFWT(FWT(A)*FWT(B))A \oplus BIFWT(FWT(A)∗FWT(B))A⊕B 以下都假装NNN是222的整数次幂 先说主要思想构造一个i,ji,ji,j的关系式g(i,j)g(i,j)g(i,j)使得 FWT(A)[i]∑j0n−1g(i,j)A[j]FWT(A)[i]\sum_{j0}^{n-1}g(i,j)A[j]FWT(A)[i]j0∑n−1​g(i,j)A[j] 我们想要 FWT(A⊕B)FWT(A)∗FWT(B)FWT(A\oplus B)FWT(A)*FWT(B)FWT(A⊕B)FWT(A)∗FWT(B) 即对于任意的iii FWT(A⊕B)[i]FWT(A)[i]∗FWT(B)[i]FWT(A\oplus B)[i]FWT(A)[i]*FWT(B)[i]FWT(A⊕B)[i]FWT(A)[i]∗FWT(B)[i] 代入 ∑j0n−1g(i,j)((A⊕B)[j])∑j0n−1g(i,j)A[j]∑k0n−1g(i,k)B[k]\sum_{j0}^{n-1}g(i,j)((A \oplus B)[j])\sum_{j0}^{n-1}g(i,j)A[j]\sum_{k0}^{n-1}g(i,k)B[k]j0∑n−1​g(i,j)((A⊕B)[j])j0∑n−1​g(i,j)A[j]k0∑n−1​g(i,k)B[k] 拆开 ∑x0n−1g(i,x)∑j⊕kxA[j]∗B[k]∑j0n−1g(i,j)A[j]∑k0n−1g(i,k)B[k]\sum_{x0}^{n-1}g(i,x)\sum_{j\oplus kx}A[j]*B[k]\sum_{j0}^{n-1}g(i,j)A[j]\sum_{k0}^{n-1}g(i,k)B[k]x0∑n−1​g(i,x)j⊕kx∑​A[j]∗B[k]j0∑n−1​g(i,j)A[j]k0∑n−1​g(i,k)B[k] 右边可以乘法分配率合并其实就是换个顺序 ∑x0n−1g(i,x)∑j⊕kxA[j]∗B[k]∑j0n−1∑k0n−1g(i,j)g(i,k)A[j]B[k]\sum_{x0}^{n-1}g(i,x)\sum_{j\oplus kx}A[j]*B[k]\sum_{j0}^{n-1}\sum_{k0}^{n-1}g(i,j)g(i,k)A[j]B[k]x0∑n−1​g(i,x)j⊕kx∑​A[j]∗B[k]j0∑n−1​k0∑n−1​g(i,j)g(i,k)A[j]B[k] 左边更换枚举项 ∑j0n−1∑k0n−1g(i,j⊕k)A[j]B[k]∑j0n−1∑k0n−1g(i,j)g(i,k)A[j]B[k]\sum_{j0}^{n-1}\sum_{k0}^{n-1}g(i,j\oplus k)A[j]B[k]\sum_{j0}^{n-1}\sum_{k0}^{n-1}g(i,j)g(i,k)A[j]B[k]j0∑n−1​k0∑n−1​g(i,j⊕k)A[j]B[k]j0∑n−1​k0∑n−1​g(i,j)g(i,k)A[j]B[k] 即: g(i,j⊕k)g(i,j)g(i,k)g(i,j\oplus k)g(i,j)g(i,k)g(i,j⊕k)g(i,j)g(i,k) 我们还需要证一个东西 FWT(AB)FWT(A)FWT(B)FWT(AB)FWT(A)FWT(B)FWT(AB)FWT(A)FWT(B) 对于每个iii FWT(AB)[i]FWT(A)[i]FWT(B)[i]FWT(AB)[i]FWT(A)[i]FWT(B)[i]FWT(AB)[i]FWT(A)[i]FWT(B)[i] 套定义 ∑j0n−1g(i,j)(AB)[j]∑j0n−1g(i,j)A[j]∑j0n−1g(i,j)B[j]\sum_{j0}^{n-1}g(i,j)(AB)[j]\sum_{j0}^{n-1}g(i,j)A[j]\sum_{j0}^{n-1}g(i,j)B[j]j0∑n−1​g(i,j)(AB)[j]j0∑n−1​g(i,j)A[j]j0∑n−1​g(i,j)B[j] 然后很显然 证毕 完结撒花 或 构造 g(i,j∣k)g(i,j)g(i,k)g(i,j | k)g(i,j)g(i,k)g(i,j∣k)g(i,j)g(i,k) 写成集合形式 g(i,j∪k)g(i,j)g(i,k)g(i,j \cup k)g(i,j)g(i,k)g(i,j∪k)g(i,j)g(i,k) 构造g(i,j)[j⊂i]g(i,j)[j \subset i]g(i,j)[j⊂i]即可 实现 FWT(A)[i]∑j⊂iA[j]FWT(A)[i]\sum_{j\subset i}A[j]FWT(A)[i]j⊂i∑​A[j] 考虑分治 将一个序列分成左右两部分左边最高位为000 右边最高位为111 对于左边其子集就是上一个的子集 右边再加上左边因为可以不选最高位 即 FWT(A)(FWT(A0),FWT(A0)FWT(A1))FWT(A)(FWT(A_0),FWT(A_0)FWT(A_1))FWT(A)(FWT(A0​),FWT(A0​)FWT(A1​)) 只有一项直接返回 逆运算解个方程就行了 {FWT(A)0FWT(A0)FWT(A)1FWT(A0)FWT(A1)\left\{ \begin{aligned} FWT(A)_0 amp; FWT(A_0) \\ FWT(A)_1 amp; FWT(A_0)FWT(A_1) \end{aligned} \right. {FWT(A)0​FWT(A)1​​FWT(A0​)FWT(A0​)FWT(A1​)​ {FWT(A0)FWT(A)0FWT(A1)FWT(A)1−FWT(A)0\left\{ \begin{aligned} FWT(A_0) amp; FWT(A)_0 \\ FWT(A_1) amp; FWT(A)_1-FWT(A)_0 \end{aligned} \right. {FWT(A0​)FWT(A1​)​FWT(A)0​FWT(A)1​−FWT(A)0​​ 即 IFWT(A)(IFWT(A0),IFWT(A1)−IFWT(A0))IFWT(A)(IFWT(A_0),IFWT(A_1)-IFWT(A_0))IFWT(A)(IFWT(A0​),IFWT(A1​)−IFWT(A0​)) 与 同理略 FWT(A)(FWT(A0)FWT(A1),FWT(A1))FWT(A)(FWT(A_0)FWT(A_1),FWT(A_1))FWT(A)(FWT(A0​)FWT(A1​),FWT(A1​)) IFWT(A)(IFWT(A0)−IFWT(A1),IFWT(A1))IFWT(A)(IFWT(A_0)-IFWT(A_1),IFWT(A_1))IFWT(A)(IFWT(A0​)−IFWT(A1​),IFWT(A1​)) 异或 构造 g(i,j^k)g(i,j)g(i,k)g(i,j \hat{\quad} k)g(i,j)g(i,k)g(i,j^k)g(i,j)g(i,k) 我也不知道怎么想到的构造 g(i,j)(−1)∣i∩j∣g(i,j)(-1)^{|i\cap j|}g(i,j)(−1)∣i∩j∣ 用到了异或不会改变111的总数的奇偶性 意识流得证 实现 FWT(A)[i]∑j0n−1(−1)∣i∩j∣A[j]FWT(A)[i]\sum_{j0}^{n-1}(-1)^{|i\cap j|}A[j]FWT(A)[i]j0∑n−1​(−1)∣i∩j∣A[j] 仍然分成左右两部分右边表示选择最高位 发现只有两侧都填111的时候会改变∣i∩j∣|i\cap j|∣i∩j∣的奇偶性相当于产生负的贡献。其余都产生正贡献。 即 FWT(A)(FWT(A0)FWT(A1),FWT(A0)−FWT(A1))FWT(A)(FWT(A_0)FWT(A_1),FWT(A_0)-FWT(A_1))FWT(A)(FWT(A0​)FWT(A1​),FWT(A0​)−FWT(A1​)) IFWT(A)(IFWT(A0)IFWT(A1)2,IFWT(A0)−IFWT(A1)2)IFWT(A)(\frac{IFWT(A_0)IFWT(A_1)}{2},\frac{IFWT(A_0)-IFWT(A_1)}{2})IFWT(A)(2IFWT(A0​)IFWT(A1​)​,2IFWT(A0​)−IFWT(A1​)​) 代码 void ForT(int* a,int n,int type) {for (int len2;len(1n);len1){int midlen1;for (int s0;s(1n);slen)for (int k0;kmid;k){a[smidk](a[smidk]type*a[sk])%MOD;if (a[smidk]0) a[smidk]MOD;}} } void FandT(int* a,int n,int type) {for (int len2;len(1n);len1){int midlen1;for (int s0;s(1n);slen)for (int k0;kmid;k){a[sk](a[sk]type*a[smidk])%MOD;if (a[sk]0) a[sk]MOD;}} } void FxorT(int* a,int n,int type) {for (int len2;len(1n);len1){int midlen1;for (int s0;s(1n);slen)for (int k0;kmid;k){a[sk](a[sk]a[smidk])%MOD;a[smidk](a[sk]-2*a[smidk])%MOD;if (a[smidk]0) a[smidk]MOD;if (type-1) a[sk](ll)a[sk]*INV%MOD,a[smidk](ll)a[smidk]*INV%MOD;}} }