一、随机化原理

• 经典快速排序 选取固定的“枢轴”（通常取第一个或最后一个元素），在最坏情况下（如已经有序）会退化为 。

• 随机快速排序 在每次分区前随机地从当前区间 [p..r] 中等概率选取一个枢轴，将它与末尾元素交换，再做标准分区。

• 随机化保证任意输入上每个元素都有同样概率被选为枢轴，从而平均下能避免极端不平衡的划分，取得期望 。

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二、算法步骤

1. 入口调用
   调用 RQS(A, 1, n) 对长度为 n 的数组 A 进行排序。

2. 递归基
   若子区间长度小于等于 1（即 p≥r ），直接返回。

3. 随机选枢轴
   在 [p,r] 上用 RANDOM(p,r) 等概率选出下标 i ，交换 A[i] 与 A[r]，这样 A[r] 就是随机枢轴。

4. 分区（Partition）
   以 A[r] 为枢轴做一次线性扫描，将 ≤ 枢轴的都移动到左边，返回枢轴最终位置 q 。

5. 递归排序
   分别对左右两段 A[p..q-1] 和 A[q+1..r] 递归调用 RQS。

三、伪代码

RQS(A, p, r)
1 if p < r
2     // 随机化选枢轴
3     i ← RANDOM(p, r)
4     swap A[i] ↔ A[r]
5 
6     // 标准 Partition
7     q ← PARTITION(A, p, r)
8 
9     // 递归排序左右子区间
10    RQS(A, p, q-1)
11    RQS(A, q+1, r)// Partition: 以 A[r] 为枢轴，返回最终位置
PARTITION(A, p, r)
1 x ← A[r]
2 i ← p − 1
3 for j = p to r − 1
4     if A[j] ≤ x
5         i ← i + 1
6         swap A[i] ↔ A[j]
7 swap A[i+1] ↔ A[r]
8 return i + 1

四、时间复杂度推导

（一）最坏情况

• 若每次随机恰巧选到当前子数组最小或最大元素，分区极端不平衡：

  

（二）期望／平均情况

令 T(n) 为对长度为 n 的数组运行的期望时间。

• 随机选枢轴后，其秩 k 在 {1,2,…,n} 上均匀分布。

• 若枢轴落在第 k 小位置，则子问题规模为 k−1 和 n−k 。

这一递归可通过替换法或主定理分析得出：