LeetCode 热题 100 | 279. 完全平方数
大家好，今天我们来解决一道经典的动态规划问题——完全平方数。这道题在 LeetCode 上被标记为中等难度，要求找到和为给定整数 n 的完全平方数的最少数量。
问题描述
给定一个整数 n，返回和为 n 的完全平方数的最少数量。
示例 1：
输入：n = 12
输出：3
解释：12 = 4 + 4 + 4
示例 2：
输入：n = 13
输出：2
解释：13 = 4 + 9
提示：
1 <= n <= 10^4
解题思路
核心思想
-
动态规划：
- 使用动态规划（DP）来解决这个问题。
- 定义
dp[i]为和为i的完全平方数的最少数量。 - 状态转移方程为：
[
dp[i] = \min_{j^2 \leq i} (dp[i - j^2] + 1)
]
其中，j^2是小于等于i的完全平方数。
-
初始化：
dp[0] = 0，因为和为 0 的完全平方数的最少数量是 0。dp[1] = 1，因为和为 1 的完全平方数的最少数量是 1。
-
遍历：
- 从 2 到
n遍历，对于每个i，找到所有小于等于i的完全平方数j^2，并更新dp[i]。
- 从 2 到
状态转移方程的推导
1. 定义状态
dp[i] 表示和为 i 的完全平方数的最少数量。
2. 状态转移
假设我们已经知道了所有小于 i 的 dp 值，现在需要计算 dp[i]。为了得到和为 i 的完全平方数的最少数量，我们可以尝试以下方法：
- 选择一个完全平方数：选择一个完全平方数
j^2，使得j^2 <= i。 - 计算剩余部分：如果选择了
j^2，那么剩下的部分就是i - j^2。 - 递归关系：因此，
dp[i]可以表示为dp[i - j^2] + 1，其中+1表示我们选择了一个完全平方数j^2。
3. 选择最优解
由于 j^2 有多种可能（例如 1, 4, 9, 16 等），我们需要在所有可能的 j^2 中选择一个使得 dp[i - j^2] + 1 最小的值。因此，状态转移方程为：
[
dp[i] = \min_{j^2 \leq i} (dp[i - j^2] + 1)
]
详细解释
假设我们正在计算 dp[12]，即和为 12 的完全平方数的最少数量。我们可以尝试以下完全平方数：
-
选择
j^2 = 1：- 剩下的部分是
12 - 1 = 11。 - 因此，
dp[12] = dp[11] + 1。
- 剩下的部分是
-
选择
j^2 = 4：- 剩下的部分是
12 - 4 = 8。 - 因此，
dp[12] = dp[8] + 1。
- 剩下的部分是
-
选择
j^2 = 9：- 剩下的部分是
12 - 9 = 3。 - 因此，
dp[12] = dp[3] + 1。
- 剩下的部分是
-
选择
j^2 = 16：- 但
16 > 12，所以不能选择。
- 但
我们需要在这些选择中找到最小值：
[
dp[12] = \min(dp[11] + 1, dp[8] + 1, dp[3] + 1)
]
Python代码实现
class Solution(object):def numSquares(self, n):""":type n: int:rtype: int"""dp = [0] * (n + 1)dp[0] = 0dp[1] = 1for i in range(2, n + 1):temp = []j = 1while j * j <= i:temp.append(dp[i - j * j])j += 1dp[i] = min(temp) + 1return dp[n]
代码解析
-
初始化：
dp数组初始化为长度为n + 1的列表，所有值初始化为 0。dp[0] = 0，因为和为 0 的完全平方数的最少数量是 0。dp[1] = 1，因为和为 1 的完全平方数的最少数量是 1。
-
状态转移：
- 遍历从 2 到
n的每个整数i。 - 对于每个
i，找到所有小于等于i的完全平方数j^2。 - 将
dp[i - j^2]的值存储到临时列表temp中。 - 更新
dp[i]为min(temp) + 1，表示选择一个完全平方数j^2后的最小值。
- 遍历从 2 到
-
返回结果：
- 最终结果存储在
dp[n]中。
- 最终结果存储在
复杂度分析
- 时间复杂度：O(n * sqrt(n))，其中
n是给定的整数。对于每个i，需要遍历所有小于等于i的完全平方数。 - 空间复杂度：O(n)，使用了长度为
n + 1的dp数组。
示例运行
示例 1
输入：n = 12
输出：3
解释：12 = 4 + 4 + 4
示例 2
输入：n = 13
输出：2
解释：13 = 4 + 9
总结
通过动态规划的方法，我们可以高效地解决完全平方数问题。状态转移方程 dp[i] = \min_{j^2 \leq i} (dp[i - j^2] + 1) 确保了我们能够找到和为 i 的完全平方数的最少数量。希望这篇题解对大家有所帮助，如果有任何问题，欢迎在评论区留言讨论！
关注我，获取更多算法题解和编程技巧！
