卷积积分

本质：信号分解

f(t)分解成基本信号δ(t)ε(t)的线性组合

一个基本信号的响应知道了，那么就可以求任意信号的响应

信号的时域分解

1.注意p(t)并不是δ(t)，p(t)表示的面积为一，宽为Δ，高为1/Δ，但是δ(t)是Δ趋近于0。（注：p(t)是门函数，就是像一道门一样,比如在一定定义域内值为1,其他为0。值为1的定义域称为宽度,1就称为幅度。）

2.任意信号f(t)和p(t)关系，如果f(t)是个方波，而且宽为Δ，高为A，那么f(t)=AΔp(t)，这里其实就是f(t)的面积乘1，因为p(t)面积为一。

3.现在如果f(t)不是方波，它是个任意信号，此时我们可以把他切成一系列方波。第n块的A=f(nΔ)，宽度为Δ，而且第n块的p(t)由于可能不在原点，需要平移，p(t-nΔ)，一块方波的信号=f(nΔ)Δp(t-nΔ)，那么所有的方波就是下面的，这里n是整数
$$F(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(n\Delta )\Delta p(t-n\Delta )$$
4.然后对Δ求极限，我们想，所有方波如果它Δ趋近于0，那么它就变成了一个类似直线的东西，那么整体来看，对方波的和来说，Δ趋近于0，就意味着，此时最终得到的正是我们那个任意的曲线。
$$\underset{\Delta \to 0}{\lim }F(t)=f(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(\tau )\delta (t-\tau )d\tau$$
5.取极限后，离散和变成连续和，求和变成积分。nΔ变成连续的，我们称之为τ，然后Δ变成dτ。p(t-nΔ)宽读无穷小，高度无穷大，变成δ(t-τ)。

卷积公式

冲激响应性质:δ(t)->LTI零状态->h(t)

时不变性：δ(t-τ)->LTI零状态->h(t-τ)

齐次性:f(τ)δ(t-τ)->LTI零状态->f(τ)h(t-τ)
$$叠加性：{\int }_{-\infty }^{\infty }f(\tau )\delta (t-\tau )d\tau ->LTI零状态->{\int }_{-\infty }^{\infty }f(\tau )h(t-\tau )d\tau$$

$$f(t)->LTI零状态->y_{zs}(t)$$

可见零状态响应：
$$y_{zs}(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(\tau )h(t-\tau )d\tau$$
如果我们定义新运算’’：
$$y_{zs}(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(\tau )h(t-\tau )d\tau =f(t)\ast h(t)$$
我们称为卷积运算。

卷积积分定义

定义式：
$$f(t)=f_1(t)\ast f_2(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }{f}_1(\tau )f_2(t-\tau )d\tau$$
两个函数卷积完之后是一个关于t的函数F(t)。τ是积分变量，t是参变量，积分完之后，结果仍是关于t的函数。（定义式永远满足）

积分限可演变成其他限：

1.f1(t)=f1(t)ε(t)，因果信号
$$f_1(t)\ast f_2(t)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_1(\tau )\epsilon (\tau )f_2(t-\tau )d\tau ={\int }_0^{+\infty }{f}_1(\tau )\epsilon (\tau )f_2(t-\tau )d\tau$$
2.f2(t)=f2(t)ε(t)，此时只有t-τ>0即τ<t时，ε(t-τ)才为1，其他都为0.
$$f_1(t)\ast f_2(t)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_1(\tau )f_2(t-\tau )\epsilon (t-\tau )d\tau ={\int }_{-\infty }^t{f}_1(\tau )f_2(t-\tau )\epsilon (t-\tau )d\tau$$
3.f1(t)=f1(t)ε(t)，f2(t)=f2(t)ε(t)，此时积分限变为0到t，是上面两个的交集。
$$f_1(t)\ast f_2(t)={\int }_0^t{f}_1(\tau )\epsilon (\tau )f_2(t-\tau )\epsilon (t-\tau )d\tau$$

卷积积分图解法：

可交换性，哪个翻转简单，哪个当作f2(t).

换元t变τ，翻转平移相乘，根据图形分类讨论，讨论的t是移动的变量，通过移动两个函数图像相交的情况判断上下限，积分积的是f1(t)*f2(t-τ)，它可以写成F(τ)的形式，最后是关于t的函数，因为上下限包含了t。

分段求，积得是一个函数，只不过，他的上下限不同。确定上下限是关键，求某一时刻卷积值好求，这个直接求这个时刻重叠面积即可。

卷积就相当于对每一个变量t，计算两个信号重叠的面积。

卷积的性质：

代数性质：
$$交换律：f_1(t)\ast f_2(t)=f_2(t)\ast f_1(t)$$

$$分配律：f_1(t)\ast [f_2(t)+f_3(t)]=f_1(t)\ast f_2(t)+f_1(t)\ast f_3(t)$$

$$结合律：f_1(t)\ast [f_2(t)\ast f_3(t)]=[f_1(t)\ast f_2(t)]\ast f_3(t)$$

复合系统的冲激响应：

f(t)->h1(t)->h2(t)->yzs(t) 级联：h(t)=h1(t)*h2(t)

串联是两个系统的输出;级联是第一个系统的输出作为第二个系统的输入。

并联：h(t)=h1(t)+h2(t)

奇异函数的卷积特性：
$$f(t)\ast \delta (t)=f(t)$$

$$f(t)\ast \delta (t-t_0)=f(t)$$

$$f(t)\ast \delta {}^{\prime }(t)=f{}^{\prime }(t)$$

$$f(t)\ast \epsilon (t)={\int }_{-\infty }^{t}f(\tau )d\tau$$

卷积的微积分性质：

卷积的n阶导数，等于对其中一个函数求n阶导数再卷积另一个函数。
$$\frac{d^n}{d{t}^n}[f_1(t)\ast f_2(t)]=\frac{d^n{f}_1(t)}{d{t}^n}\ast f_2(t)=f_1(t)\frac{d^n{f}_2(t)}{d{t}^n}$$

$${\int }_{-\infty }^t[f_1(\tau )\ast f_2(\tau )]d\tau =[{\int }_{-\infty }^t{f}_1(\tau )d\tau ]\ast f2(t)=[{\int }_{-\infty }^t{f}_2(\tau )d\tau ]\ast f1(t)$$

$$f_1(t)\ast f_2(t)=f_1{}^{\prime }(t)\ast f_2^{-1}(t)$$

最后这个式子有一个条件
$$f_1{}^{\prime }(-\infty )=0或者f_2^{-1}(+\infty )=0$$
卷积的时移特性：
$$若f(t)=f_1(t)\ast f_2(t)$$

$$则：f_1(t-t_1)\ast f_2(t-t_2)=f_1(t-t_1-t_2)\ast f_2(t)=f(t-t_1-t_2)$$

也就是说，知道一个f(t)=f1(t)*f2(t)，那么想要求f1(t-t1) *f2(t)，可以直接代换f(t)为f(t-t1)。这就是卷积结果。注意这里t是个整体，所有t都得变。

常用卷积重要公式

δ(t)ε(t)τ

$$K\ast f(t)=K\cdot [f(t)波形的净面积值]$$

$$f(t)\ast \delta (t)=f(t)$$

$$f(t)\ast {\delta }^{\prime }(t)=f^{\prime }(t)\ast \delta (t)=f^{\prime }(t)$$

$$f(t)\ast \epsilon (t)=f(t)\ast {\delta }^{(-1)}(t)=f^{(-1)}(t)\ast \delta (t)=f^{(-1)}(t)$$

$$\epsilon (t)\ast \epsilon (t)=t\epsilon (t)$$

$$e^{-a_{1}t}\epsilon (t)\ast e^{-a_{2}t}\epsilon (t)=\frac{1}{a_2-a_1}(e^{-a_{1}t}-e^{-a_{2}t})\epsilon (t),(a_1\ne a_2)$$

$$e^{-at}\epsilon (t)\ast e^{-at}\epsilon (t)=t\ast e^{-at}\epsilon (t),(a_1=a_2=a)$$

$$\epsilon (t)\ast e^{-at}\epsilon (t)=\frac{1}{a}(1-e^{-at})\epsilon (t),(a_1=0,a_2=a)$$

卷积求解方法

1.利用定义式：容易求积分的函数，指数函数，多项式函数
$$f(t)=f_1(t)\ast f_2(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }{f}_1(\tau )f_2(t-\tau )d\tau$$
2.图解法，适合求某时刻点上的卷积值

3.性质，求个导数，求个积分，有δ(t)的话利用f(t)*δ(t)=f(t)就得到了。

4.常用公式后三个。

用梳状函数卷积产生周期信号

梳状函数：
$${\delta }_T(t)=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\delta (t-mT)$$
由时移特性：
$$f(t)\ast \delta (t-t_0)=f(t-t_0)$$
则有：
$$f(t)\ast {\delta }_T(t)=f(t)\ast \sum _{m=-\infty }^{\infty }\delta (t-mT)=\sum _{m=-\infty }^{\infty }f(t-mT)$$
卷积的结果是一个周期信号，周期为T

这里如果T>f(t)的宽度，那么在卷积后的信号的每个周期内的波形都与f(t)相同

但是如果T<f(t)的宽度，那么各个相邻脉冲将会出现重叠。首的一部分和尾的一部分叠加

矩形脉冲的卷积产生三角形和梯形脉冲

具体是用图像法，两个门函数上下限，分别讨论。

两个不同宽的门函数卷积，结果为梯形函数，梯形的高为窄门的面积，上底为两个门宽函数宽度之差绝对值，下底为两个门函数宽读之和。

三角就是两个门函数门宽相同。

自相关互相关函数定义

比较某信号与另一延时τ的信号之间的相似度引入相关函数，可用于鉴别信号，雷达识别，通信同步信号识别。相关函数被称为相关积分，与卷积运算类似。

互相关函数：
$$R_{12}(\tau )={\int }_{-\infty }^{\infty }{f}_1(t)f_2(t-\tau )dt={\int }_{-\infty }^{\infty }{f}_1(t+\tau )f_2(t)dt$$

$$R_{21}(\tau )={\int }_{-\infty }^{\infty }{f}_2(t)f_1(t-\tau )dt={\int }_{-\infty }^{\infty }{f}_2(t+\tau )f_1(t)dt$$

只用记住第一个，前面t领先后面t了τ。这是对t积分。

一般情况，R12(τ)不等于R21(τ)

R12(τ)=R21(-τ)

R21(τ)=R12(-τ)

R12(τ)意思就是，1比2超前了τ。R21(-τ)意思就是2比以超前了-τ，这俩意义是一样的。只不过表达式不一样。

这个信号和另一个信号的相似程度

自相关：
$$R(\tau )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)f(t-\tau )dt$$
这个信号和另外一个时间的这个信号的相似程度。

自相关函数是一个偶函数。

R(τ)=R(-τ)

相关与卷积

卷积开始需要先将f2(τ)反折为f2(-τ),但是相关运算不需要。
$$R_{12}(t)=f_1(t)\ast f_2(-t)$$
若f1(t)和f2(t)均为实偶函数，则卷积与相关形式完全相同。