1. 树状数组

类似数据结构：线段树（Segment Tree）

树状数组 跟 线段树 的区别：

• 树状数组能做的事情，线段树都能做！（线段树功能更牛）
• 树状数组代码简单，实现起来比线段树容易（树状数组代码更简单）

树状数组的 查询 和 修改 复杂度都为 $\log (n)$

• 原数组为 A
• 树状数组为 C（注意下标从1开始！！！）

C1 = A1
C2 = C1 + A2 = A1 + A2
C3 = A3
C4 = C2 + C3 + A4 = A1 + A2 + A3 + A4
C5 = A5
C6 = C5 + A6 = A5 + A6
C7 = A7
C8 = C4 + C6 + C7 + A8 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8

• 对 C8 （8的2进制为1000，后面有3个0，所以他管着3个数C4、C6、C7，还有自己A8）
• 奇数末尾没有0，所以奇数位只有自己
• 那怎么计算一个数管着几个数呢？

2. 单点修改

树状数组的核心函数lowbit(int m)：作用是求出 m 的二进制表示的末尾1的位置，对于要查询 m 的前缀和，m = m - lowbit(m) 代表不断对二进制末尾1进行-1操作，不断执行直到 m == 0 结束，就能得到前缀和由哪几个Cm构成

int lowbit(int m){return m & (-m);//(获取最后一个1的10进制值)
}
int getsum(int i){    //求A[1],A[2],...A[i]的和int res = 0;while(i > 0){res += c[i];i -= lowbit(i);}return res;
}

对8（1000）来算下：
补充：负数的二进制是 正数取反末尾+1

8 & (-8) = 1000 & (.111..1000) = 1000 = 8....8-8=0,sum=C8=A[1]+..A[8]
-------------
6 & (-6) =  0110 & (1010) = 10 = 2 .... 6-2=4,sum=C6
4 & (-4) = 0100 & (1100) = 100 = 4.....4-4=0,sum+=C4=C6+C4=A[1]+...A[6]
-------------
奇数上面操作结果均为 1

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;const int N = 8;
int a[N+1]={0,1,2,3,4,5,6,7,8}, c[N+1] = {0}; //对应原数组和树状数组int lowbit(int x){return x&(-x);
}
//修改操作就是getsum的逆过程
void update(int i, int delta){    //在i位置加上deltawhile(i <= N){c[i] += delta;i += lowbit(i);}
}int getsum(int i){    //求A[1],A[2],...A[i]的和int res = 0;while(i > 0){res += c[i];i -= lowbit(i);}return res;
}int main(){for(int i = 1; i <= N; ++i)update(i,a[i]);//读取原数据，插入树状数组cout << getsum(3) << endl;//获取前3个数的和cout << getsum(8) << endl;update(3,2);cout << getsum(3) << endl;cout << getsum(8) << endl;cout << getsum(4)-getsum(2) << endl;//获取A[3],A[4]的区间和return 0;
}

结果：

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3. 区间修改

将原数组的差值A[i]-A[i-1],(A[0]=0)存入树状数组

A[i] = 1 2 3 5 6 9
D[i] = 1 1 1 2 1 3 (差值)

把[2,5]区间内值加上2，则变成了

A[i] = 1 4 5 7 8 9
D[i] = 1 3 1 2 1 1

发现只有L和R+1处的值需要修改（左边+，右边-），降低了时间复杂度
所以，update修改的时候，只需要修改两个端点（因为中间的差值不变）
那么上面的 getsum(i) 的结果就是原数组的A[i]，很好证明，高中数学（把D[i] 加一下也能发现）

---

那在上面基础上，我们获取区间的和怎么办？
先来推导一下：
$$\begin{gathered} A[i]=D[i]+D[i-1]+...+D[1] \\ A[i-1]=D[i-1]+D[i-2]+...+D[1] \\ ... \\ A[2]=D[2]+D[1] \\ A[1]=D[1] \end{gathered}$$
左右都加起来：
$\sum _{x=1}^{i}A[x]=i\ast D[1]+(i-1)\ast D[2]+...+1\ast D[i]=i\ast \sum _{x=1}^{i}D[x]-\sum _{x=1}^i(D[x]\ast (x-1))$
看见最后两项，就明白了吧，再增加一个树状数组 存入 $D[x]\ast (x-1)$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;const int N = 8;
int a[N+1]={0,1,2,3,4,5,6,7,8}, c[N+1] = {0}; //对应原数组和树状数组
int sum1[N+1] = {0}, sum2[N+1] = {0};//对应D[i] , D[i]*(i-1)int lowbit(int x){return x&(-x);
}
//------区间修改-------
void update1(int i, int delta){    //在i位置加上deltaint x = i;//系数不能变，先存起来while(i <= N){sum1[i] += delta;sum2[i] += delta*(x-1);i += lowbit(i);}
}
void update_range(int l, int r, int delta)    //给区间加上delta
{update1(l, delta);//只需修改L，R+1，左+，右-update1(r+1, -delta);
}int query_p(int i){	//A[1],A[2]...A[i]的和int res = 0, x = i;//系数不能变，先存起来while(i > 0){res += x*sum1[i] - sum2[i];i -= lowbit(i);}return res;
}
int query_range(int l, int r)	//区间[l,r]的和
{return query_p(r)-query_p(l-1);
}
int main(){cout << "区间修改，单点查询" << endl;for(int i = 1; i <= N; ++i)update1(i,a[i]-a[i-1]);//读取原数据差值，插入树状数组cout << query_p(3) << endl;//获取前3个数的和cout << query_p(8) << endl;update_range(3,3,2);//修改区间【3，3】，都加上2cout << query_p(3) << endl;cout << query_p(8) << endl;cout << query_range(3,4) << endl;//获取A[3],A[4]的区间和return 0;
}

运行结果

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9

• 相关题目：
  程序员面试金典 - 面试题 10.10. 数字流的秩（map/树状数组）
  LeetCode 307. 区域和检索 - 数组可修改（树状数组）

4. 完整代码

/*** @Description: 树状数组* @Author: michael ming* @Date: 2020/4/1 23:38* @Modified by: * @Website: https://michael.blog.csdn.net/*/#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;const int N = 8;
int a[N+1]={0,1,2,3,4,5,6,7,8}, c[N+1] = {0}; //对应原数组和树状数组
int sum1[N+1] = {0}, sum2[N+1] = {0}; //对应D[i] , D[i]*(i-1)
int lowbit(int x){return x&(-x);
}
//-------单点修改----------
void update(int i, int delta){    //在i位置加上delta（单点）while(i <= N){c[i] += delta;i += lowbit(i);}
}int query(int i){    //求A[1],A[2],...A[i]的和int res = 0;while(i > 0){res += c[i];i -= lowbit(i);}return res;
}//------区间修改-------
void update1(int i, int delta){    //在i位置加上deltaint x = i;//系数不能变，先存起来while(i <= N){sum1[i] += delta;sum2[i] += delta*(x-1);i += lowbit(i);}
}
void update_range(int l, int r, int delta)    //给区间加上delta
{update1(l, delta);//只需修改L，R+1，左+，右-update1(r+1, -delta);
}int query_p(int i){int res = 0, x = i;//系数不能变，先存起来while(i > 0){res += x*sum1[i] - sum2[i];i -= lowbit(i);}return res;
}
int query_range(int l, int r)//区间[l,r]的和
{return query_p(r)-query_p(l-1);
}
int main(){//单点修改cout << "单点修改，单点查询" << endl;for(int i = 1; i <= N; ++i)update(i,a[i]);//读取原数据，插入树状数组cout << query(3) << endl;//获取前3个数的和cout << query(8) << endl;update(3,2);cout << query(3) << endl;cout << query(8) << endl;cout << query(4)-query(2) << endl;//获取A[3],A[4]的区间和cout << "区间修改，单点查询" << endl;for(int i = 1; i <= N; ++i)update1(i,a[i]-a[i-1]);//读取原数据差值，插入树状数组cout << query_p(3) << endl;//获取前3个数的和cout << query_p(8) << endl;update_range(3,3,2);//修改区间【3，3】，都加上2cout << query_p(3) << endl;cout << query_p(8) << endl;cout << query_range(3,4) << endl;//获取A[3],A[4]的区间和return 0;
}

5. 参考文献

• 百度百科：树状数组
• 树状数组入门(简单的原理讲解)
• 树状数组详解
• 树状数组 数据结构详解与模板(可能是最详细的了)