LeetCode 327. 区间和的个数（multiset二分查找/归并排序）

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- 1. 题目
- 2. 解题
- - 2.1 动态规划超时
  - 2.2 二分查找
  - 2.3 归并排序

1. 题目

给定一个整数数组 nums，返回区间和在 [lower, upper] 之间的个数，包含 lower 和 upper。

区间和 S(i, j) 表示在 nums 中，位置从 i 到 j 的元素之和，包含 i 和 j (i ≤ j)。

说明:
最直观的算法复杂度是 O(n2) ，请在此基础上优化你的算法。

示例:
输入: nums = [-2,5,-1], lower = -2, upper = 2,
输出: 3 
解释: 3个区间分别是: [0,0], [2,2], [0,2]，它们表示的和分别为: -2, -1, 2。

来源：力扣（LeetCode）链接：https://leetcode-cn.com/problems/count-of-range-sum
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2. 解题

2.1 动态规划超时

区间动态规划，超时例子，复杂度太高 $O(n^2)$
整型溢出例子[2147483647,-2147483648,-1,0] -1 0

class Solution {
public:int countRangeSum(vector<int>& nums, int lower, int upper) {if(nums.size() == 0)return 0;int i, j, len, n = nums.size(), count=0;vector<vector<long>> dp(n,vector<long>(n,0));//区间[i,j]的和for(i = 0; i < n; ++i){dp[i][i] = nums[i];if(lower<=dp[i][i] && dp[i][i]<=upper)count++;}for(len = 1; len < n; ++len){for(i = 0; i < n-len; ++i){dp[i][i+len] = dp[i][i+len-1] + dp[i+len][i+len];if(lower<=dp[i][i+len] && dp[i][i+len]<=upper)count++;}}return count;}
};

2.2 二分查找

参考大佬的解法
前缀和 sum， $\le sum[j]-sum[i] \le U \Rightarrow sum[j]-U\le sum[i] \le sum[j]-L$
j = 0 时, 上式 sum[i] = 0，sum[i] 可以看做前面的和， sum[j] 当前的和
以每个 j 点作为结束的区间，前面哪些 i 到 j 的和在范围内
将前次的前缀和插入multiset，有序，可以二分查找
查找set中前缀值在当前前缀和 $s u m [j]$ 上下范围内（ $[s u m [j] - U, s u m [j] - L]$ ）的个数

class Solution {
public:int countRangeSum(vector<int>& nums, int lower, int upper) {if(nums.size() == 0)return 0;multiset<long> s;s.insert(0);int count = 0;long sum = 0;for(int i = 0; i < nums.size(); ++i){sum += nums[i];count += distance(s.lower_bound(sum-upper), s.upper_bound(sum-lower));s.insert(sum);}return count;}
};

但是上面解法中distance在set中（不可随机访问）是 O(n)时间复杂度的，所以用数组进行二分查找两个端点，然后做差会更快些。
80 ms 14.4 MB

2.3 归并排序

其实归并排序求逆序度是本题的一个特例
对前缀和进行归并排序（注意头部要加一个0，用于第一个数的）
归并时，固定左边的一个端点，右边有两个指针进行遍历查找

核心代码段：

		int i = l, jlo = mid+1, jup = mid+1;//右侧两个指针while(i <= mid)//遍历左侧的端点{	while(jlo <= r && sum[jlo]-sum[i] < lower)//[i,jlo]不在范围内jlo++;while(jup <= r && sum[jup]-sum[i] <= upper)//[i,jup]在范围内jup++;//最后 [jlo,jup) 为在范围内的右端点count += jup-jlo;//计数i++;//遍历下一个左端点}

class Solution {vector<long> temp;
public:int countRangeSum(vector<int>& nums, int lower, int upper) {if(nums.size() == 0)return 0;vector<long> sum(nums.size()+1, 0);temp.resize(nums.size()+1);for(int i = 1; i < sum.size(); ++i)sum[i] = sum[i-1] + nums[i-1];return mergeSort(sum,0,sum.size()-1,lower,upper);}int mergeSort(vector<long>& sum, int l, int r, int lower, int upper){if(l >= r)return 0;int mid = l+((r-l)>>1), count = 0;count += mergeSort(sum, l, mid, lower, upper);count += mergeSort(sum, mid+1, r, lower, upper);int i = l, jlo = mid+1, jup = mid+1;while(i <= mid){while(jlo <= r && sum[jlo]-sum[i] < lower)jlo++;while(jup <= r && sum[jup]-sum[i] <= upper)jup++;count += jup-jlo;i++;}//合并，跟归并排序一致i = l; int j = mid+1, k = 0;while(i <= mid && j <= r){if(sum[i] <= sum[j])temp[k++] = sum[i++];elsetemp[k++] = sum[j++];}if(i <= mid)while(i <= mid)temp[k++] = sum[i++];elsewhile(j <= r)temp[k++] = sum[j++];for(i = 0; i < k; ++i)sum[l++] = temp[i];return count;}
};